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ちょっと解いてみた [ネコ騙し数学]

ちょっと解いてみた


問題 数列

  

が収束すること示し、その極限値が1/21の間にあることを示せ。

【解答】
  

したがって、数列は単調減少。

また、

  

だからで、0の下界。

下に有界な単調減少の数列は収束するので、は収束する。

  

だから、

  

が収束することはわかった。その極限値を求めることにする。


  

だから、

  

とおき、[0,1]n等分に分割した点を

  

つまり、

  

とすると、

  

となる。

f(x)x≧0で単調減少関数だから、

  

だから、
  

また、

  

と変形すると、

  


  

kyokugen-graph-00.pngだから、同様の議論から

  

したがって、

  

となる(右図参照)。

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  


kyokugen-graph-01.png
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