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上限・下限の問題 [ネコ騙し数学]

上限・下限の問題


問題を解く前に、最大数、最小数の定義を与える。


最大数・最小数の定義

Aを空でない実数Rの集合とする。

α∈Rが、α∈AかつAの上界であるとき、αA最大数といい、max Aであらわす。

β∈Rが、β∈AかつAの下界であるとき、βA最小数といい、min Aであらわす。

問題1

  

とする。sup Ainf Amin Amax Aを求めよ。

【解】

sup A = 1inf A=−1max A = 1

min Aは存在しない。

(解答終了)

 


問題2

Aを空でない実数Rの集合とする。

max Amin A)が存在するための必要十分条件は、Aが上に有界(下に有界)であって、かつsup A∈Ainf A∈A)であることをを示せ。

【解】

max A=αとする。αAの上界だから任意のx∈Aに対してx≦αで、任意の正数ε>0に対してα−ε<α∈A。したがって、α=sup Aで、sup A∈Aである。

β=sup Aとすると、任意のx∈Aに対してx≦ββ∈Aだから、β=max Aである。


min A=α
とする。αAの下界だから任意のx∈Aに対してx≦αで、任意の正数ε>0に対してα+ε>α∈A。したがって、α=inf Aで、inf A∈Aである。

β=inf Aとすると、任意のx∈Aに対してx≦ββ∈Aだから、β=min Aである。

(解答終了)



問題3 次の集合の上限と下限を求めよ。

  

【解】

  

だから、t=π/nとおくと

  

n=1のときt=πn→∞のときt→0

t∈(0,π]として、

  

jogen-kagen-graph-01.pngとおくと、f(t)のグラフは右図になり、単調減少となる。

したがって、f(t)の上限は

  

下限(最小数)は

  

以上のことより、sup A =πinf A = 0である。

(解答終了)



問題4 空でない実数Rの部分集合Aに対して

  

とおく。

このとき、

  

を証明せよ。

ただし、−(−∞)=∞、−(∞)=−∞とする。

【証明】

Aが上に有界であるとする。

α=sup (−A)とおくと、すべての−x∈−Aに対してα≧−x。したがって、すべてのx∈Aに対してx≧−αとなり、−sup(−A)=−αAの下界になる。inf AAの下界の最大数だから、

  

inf A=βとすると、すべてのx∈Aに対してx≧β。したがって、すべての−x∈−Aに対して−x≦−βとなり、−inf A=−βは−Aの上界である。sup (−A)は−Aの上界の最小数だから、

  

(1)と(2)から、

  


Aが上に有界でないとすると、Aは下に有界でない。

すなわち、sup (-A)=∞inf A=−∞

よって、

  

である、

(−A)=Aだから、(3)より

  

(解答終了)
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