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関数の振幅 [ネコ騙し数学]

関数の振幅


定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
  

f(x)I上の振幅振動量)という。

区間I上の関数f(x)がある実数Mがあり、すべてのx∈Iに対して

  

であるとき、関数f(x)は有界であるという。

論理記号で書くと、

  


ちなみに、有界でない関数は、(2)の否定をとると、

  

となるので、任意の実数Mに対して、

  

となるx∈Iが存在する関数のことである。

有界な関数の例としては、たとえば、I=[01]で定義されたf(x)=x²。このとき、0≦f(x)≦1だから有界である。

一方、有界でない関数の例としては、たとえば、I=(0,1]で定義されたf(x)=1/x。この関数の値域は1≦f(x)<∞だから、有界ではない。

現に、どのような実数M≧1を与えても

  

となるので、この有界でないことを定義にそって証明することができる。

例1 I=[0,1]f(x)=x²とすると、

  

だから、f(x)I上の振幅ω(f,I)

  



例2 I=[−π,π]f(x)=sin とすると。

  



例3 I=[−1,1]

  

とすると、

1≦x<0のとき

  

x=0のときf(x)=0

0≦x≦1のとき
  

だから、

  


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