第1回 定積分(リーマン積分)の定義 [ネコ騙し数学]
第1回 定積分(リーマン積分)の定義
リーマン和の定義
有界閉区間[a,b]の分割
に対し、を選んで
(リーマン)積分の定義
関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。任意の分割Δとそのそれぞれののなかの任意の
に対して
たとえば、閉区間[0,1]で定義される関数f(x)=xがあるとする。[0,1]を次のように
をn等分し、その小区間の

となり、
しかし、このことをもって、
この結果は、確かに、
しかし、①は[0,1]をn等分するという特定の分割のものであって、さらにその特定の
という点をとったリーマン和に過ぎず、分割によって、また、のとり方によって値が変わってくるかもしれないからだ。
そこで、次の問題。
問題 x∈[0,1]で定義される次の関数
【解】
[0,1]をn等分、すなわち、
そして、をとると、これは有理数だから、
内の無理数を
をとると
(解答終)
高校の数学では、定積分を区分求積法

で定義したが、この定積分の定義を問題1に用いると、
この積分の定義⑨のままでは都合が悪いことがわかってもらえたと思う。
さてさて、
f(x)=x、[0,1]の分割を
の中点
を
に選ぶと、

また、すべての分割Δのそれぞれのの任意の
に対して

したがって、

である。
2017-03-14 12:11
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