ねむねこ幻想郷

第１回　定積分（リーマン積分）の定義

リーマン和の定義

有界閉区間[a,b]の分割

　　

に対し、を選んで

　　

をリーマン和と呼び、

　　

を分割の幅という。

 

（リーマン）積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれののなかの任意のに対して

　　

であるとき、関数f(x)は[a,b]で積分可能といい、

　　

とあらわす。

たとえば、閉区間[0,1]で定義される関数f(x)=xがあるとする。[0,1]を次のように

　　

をn等分し、その小区間の

　　

をとると、このリーマン和は
　　

となり、

　　

である。

しかし、このことをもって、

　　

としてはいけない。

この結果は、確かに、

　　

と一致する。

しかし、①は[0,1]をn等分するという特定の分割のものであって、さらにその特定の

　　

という点をとったリーマン和に過ぎず、分割によって、また、のとり方によって値が変わってくるかもしれないからだ。

そこで、次の問題。

問題　x∈[0,1]で定義される次の関数

　　

が（リーマン）積分可能でないことを示せ。

【解】

[0,1]をn等分、すなわち、

　　

と分割する。

そして、をとると、これは有理数だから、

　　

内の無理数ををとると

　　

よって、積分可能でない。

（解答終）

高校の数学では、定積分を区分求積法

　　

で定義したが、この定積分の定義を問題１に用いると、

　　

と、積分可能になってしまう(^^)

この積分の定義⑨のままでは都合が悪いことがわかってもらえたと思う。

さてさて、

　　

の証明。

f(x)=x、[0,1]の分割を

　　

とする。

の中点をに選ぶと、

　　

また、すべての分割Δのそれぞれのの任意のに対して

　　

したがって、

　　　　

である。