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第3回 定積分の性質1 [ネコ騙し数学]

第3回 定積分の性質1


リーマン和をもとに(定)積分を定義すると、高校で習った定積分の次の定理を証明することができる。


定理1

f(x)g(x)が有界閉区間[a,b]で積分可能、λμが定数であるとき、λf(x)+μg(x)[a,b]上で積分可能で、
  teisekibun-03-01.png

である。

【証明】

分割を任意にとると、リーマン和は

  

となり、λf(x)+μg(x)[a,b]上で積分可能で、

  

である。

(証明終了)



定理2

f(x)g(x)は有界閉区間[a,b]で積分可能であるとする。このとき、

  

ならば、

  

である。

【証明】

分割を任意にとると、仮定より

  

であるから、
  

f(x)g(x)[a,b]上で積分可能だから、|Δ|→0のとき

  

(証明終)



関数fgが有界閉区間[a,b]上で連続であるとき、f=g、つまり、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)=g(x)でなく、

  

であるとき、

  

になるけれど、単に積分可能であるときは、等号は外せないことに注意。

 


たとえば、[0,1]で定義されたf(x)=0

  

の積分を考えればよい。

このとき、f≠gで、f(x)≦g(x)という条件を満たしているが、


前回の問題2で示したように、g[0,1]で積分可能でその値は

  

だから、

  

である。

また、f[a,b]上で積分可能で、x∈[a,b]のすべてのxについてf(x)≧0のとき、

  

ならば、x∈[a,b]f(x)=0も言えない。

 


定理3

有界な関数fgが有界閉区間[a,b]の有限個の点を除き、f(x)=g(x)であるとする。このとき、f[a,b]上で積分可能ならば、g[a,b]上で積分可能で、

  

が成り立つ。

【証明】

x=dを除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考え、

  

とすると、φ(x)[a,b]上で積分可能で、

  

したがって、定理1より

  

[a,b]上で積分可能で、

  

になる。

次に、を除いてf(x)=g(x)である関数g(x)を考える。

  

とおき、

  

とおくと、[a,b]上で積分可能で、

  

である。
  

とおくと、

  

(証明終)



定理3より、たとえば、[0,3]で定義される

  

という関数f(x)[0,3]で積分可能であり

  

である。
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