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第19回 陰関数の極値(偏微分) [ネコ騙し数学]

第19回 陰関数の極値

 

(x₀,y₀)を含む領域Df(x,y)級であるとする。陰関数定理より、ならば、x₀の近傍でf(x,y)=0で定める級の陰関数y=φ(x)がただ一つ存在し、

  

である。

(1)式をさらにxで微分すると、

  dai19-siki-01.png

ここで、

  dai19-siki-02.png

したがって、f(x,y)Dならば、

  

である。

 

 

問題1 関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数についてを求めよ。

【解】

f(x,y)=x²–2xy–y²–1とおくと、 だから、

  

だから

  

(解答終)

 

 

次に、f(x,y)級とし、f(x,y)=0で定まる級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。

y=φ(x)x=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より

  

また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、

  

したがって、(2)式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は

  

となる。

よって、

  dai19-siki-07.png

のときy=φ(x₀)は極小となり、

  dai19-siki-08.png

のときに極大となる。

 

以上のことをまとめると、次の定理になる。

 

定理

f(x,y)級の関数とし、y=φ(x)f(x,y)=0の定める陰関数とする。

φx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、

  

で、

のときy₀は極大値で、のときy₀は極小値である。

 

 

問題2 3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。

graph-3x^2+2xy+2y^2=15.png【解】

とおくと、

  

3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、

  

だから

  

(x,y)=(−1,3)のとき

  

(x,y)=(1,−3)のとき

  

よって、

yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値3をとる。

(解答終)

 

この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15xに関する2次方程式と考え、2次方程式の判別式を使って解くこともできる。

 

【別解】

xに関する2次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、

  

y=−3のとき

  

同様に、y=3のときx=−1

したがって、yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値1を取る。

(別解終)

 

 

宿題 3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、1変数関数の微分を用いて求めよ。

 

この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる!!


タグ:微分 偏微分
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