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北九州市が9月から「子ども食堂」 ひとり親家庭支援 朝日 [ネムネコの呟き]





ムジナ 第14章の終わり [ムジナの冒険]

 人間にとって、キスは軽い挨拶であり、恋人同士の場合は、誓いや交歓の儀式になる。ある種の鳥の中では、人間と同じように口移しが異性との愛情確認あるいは婚約の儀式である場合もあるが、人間以外の哺乳動物は、まずキスをしない。オコジョが彼女の大胆な行為に驚くのは当然であった。

 仲の良い友達同士で、人間は、今のようにキスをし合うのよ。こんな事で驚くなんて、オコジョはまだまだ子供よね。


 年下でありながら、ムジナは、お姉さんぶって、オコジョの疑問に次のように答えた。


「俺は、てっきり、お前が俺のことを子供扱いし、口移しをしたのかと思ったんだが・・。そういう事なら、まあ良いや。」


 オコジョは、そう言った後、続けて彼女に問い掛けた。


「人間は、何で友達同士で口移しなんて変なことをするんだ。お前に口移しされたから我慢できたけれど、男同士で口移しをする場面を想像するだけで気持ち悪くなりそうだ。」


 オコジョの質問を受け、ムジナは、そうよねと考え始めた。ムジナは、これまで何度も人間がキスをする場面を目にし、キスは挨拶替わりなのだろうと勝手に判断していた。このため、これまで、キスの意味や役割について深く考えたことがなかった。そこで、彼女は、人間がキスをし合う場面を幾つも思い返してみた。


 オコジョに質問され、キスについて改めて考えてみると、口付けをするのは、異性の場合だけで、家族や友人同士では、頬や額などに軽くするように思われた。そのことに気付いた彼女は、頬を真っ赤に染め、どうしましょうと、両方の前肢で口を押さえた。


「急に顔を赤くしたりして、どうしたんだ、お前。熱でもあるんじゃないか。」


 オコジョは、そう言うと、彼女の額に右の前肢を当てた。彼女の体温が平穏であることに安心すると、オコジョは、彼女の額に当てていた彼の右足を徐に下ろした。頬を微かに赤らめ、俯き加減の彼女の顔を改めて見詰めた。


「前からお前はどこかおかしいけれど、今朝は、特に変だぞ。どうしたんだ、」


 今まで知らなかったとは言え、特別な異性に対してだけ、口付けをするのだ、と彼に答えるわけにはいかなかった。ムジナは、彼の視線を感じ、さらに頬を赤らめた。顔から火が出るほどの恥ずかしさであったが、彼女は、気丈に「何でもないわ」と答えると、オコジョの顔を正視した。そして、もう一度オコジョの唇に自分の唇を重ねた。


 これで、お別れよ、オコジョ。私とあんたが運命で結ばれているのなら、また、会うこともあるでしょう。再会を信じ、ここでお別れしましょう。


 いつでもまで経っても、名残は尽きない。お互いにそのことを良く理解していた。オコジョは、コクリと頷き返した後、「お前と俺は運命に結ばれている。また、すぐに会えるさ。じゃあな」と言って、彼女に背を向けて、塒にゆっくりとした足取りで歩き始めた。


 振り返るかもしれない。そして、自分と一緒に王都で生活してくれるかもしれない。


 彼女は、淡い期待を抱きつつ、オコジョの後ろ姿を見詰めていた。後ろ髪を引かれる思いであろうが、オコジョが決して振り返らないことも知っていた。振り返ったら、お互いに別れが辛くなるばかりであることを、彼もまた良く知っているので、彼女の予想した通り、オコジョは振り返らなかった。だが、彼の背中が、時折、小刻みに震えていた。


 オコジョも泣いているんだわ。


 彼女は、鼻水交じりの涙で顔を泣き濡らしながら、そう確信した。「オコジョ」と大きな声を上げて、彼を引き留めたいという強い衝動に何度も襲われながらも、それを抑え続けた。そんな健気な彼女を励ますように、物陰に姿を隠し、二人の別れの場面を観察していた一角大雪兎と超ハイテク算盤が姿を現し、申し合わせたように彼女の両方の肩を同時に軽く叩いた。


「俺たちとオコジョでは、生きる世界があまりに違い過ぎる。早晩、こうなる運命だったんだ。別れたばかりで今は悲しいだろうが、時がお前の心の傷を癒してくれるさ。そして、オコジョと昔こんなことがあったんだと、笑って思い出せる時がやって来るさ。だけれども、今は、思い切り泣け。涙が涸れ果てるまで、泣け。そうすれば、涙が別れの悲しさを洗い流してくれるに違いないから。」


 安物の芝居、恋愛小説から引用したような一角大雪兎の台詞であった。一方、超ハイテク算盤が彼女にかけた言葉は、それとは正反対と言える残酷なものであった。


「自分の無能さに気付いていてもなおリーダーの座を俺に渡そうとしない我が侭で勝手なムジナであるお前にオコジョが愛想を尽かすのはもっともであろう。オコジョを引き戻したいのなら、まず、お前のその身勝手な性格を直さなければならない。手始めとして、有能である俺にリーダーの座を渡すことだ。そうすれば、勝手なお前の性格が少し良くなったと考え、お前の大好きなオコジョがスケベ面をして戻ってくるかもしれない。」


 算盤は、泣きじゃくっている彼女にそう告げた後、彼女の足元に一枚の書面を置き、彼の手と言えるセンサーでその書面の一部を指し示した。


「これは、有能な超ハイテク算盤にリーダーの座を渡しますという委任状だ。ここに、お前の足跡をペタンと押すだけでいい。それだけで、お前の大好きなオコジョが戻ってくるにちがいない。何も考えることはない。ペタンとここに足跡を付けるんだ。」


 涙交じりの鼻汁を滴らせながら、ムジナは超ハイテク算盤を横睨みした。


 オコジョは、私の性格を含め、私の全てを愛してくれていたわ。私も、オコジョの悪戯っ子のような子供じみた性格を愛していたのよ。それなのに、どうして、私の性格を直さなければいけないのよ。


第36回 反転2 [ネコ騙し数学]

第36回 反転2


原点OOとは異なる点Pがあるとする。このとき、半直線OP上に
  

となる点Qをとる。これが反転。

Pと点Qの座標をP(x,y)Q(X,Y)とすると、

  

という対応関係がある。

前回、原点Oを通る直線についてやらなかったので、ここから始めることにする。


原点を通る直線は

  ax+by=0

になるので、この直線は③より

  

となり、反転によって同じ直線ax+by=0に移されることがわかる。

前回、反転によって、原点を通らない直線は原点を通る円(原点は除く)に、原点を通る直線は原点を通らない直線に変換されることは示した。


なので、反転によって原点を通らない円がどのような図形に変換されるのか調べてみることにする。計算を簡単にするために反転の半径r=1とする。

中心(a,b)、半径kの円の方程式は

  

この円は原点を通らないので

  

r=1のとき

  

という対応関係があるので、

  

計算を簡単にするために

  

とおくことにする。

  

よって、原点を通らない円になる。

何故、原点を通らないかというと、(X,Y)=(0,0)を代入すると

  

となり、a²+b²<>k²だから、右辺と左辺が一致しなことからわかる。

問題

座標平面上の直線x+y=4上の任意の点Pと原点Oを通る直線が円x²+y²−x−y=0と交わるO以外の点をQとするとき、

  

が一定であることを証明し、この一定値を求めよ。

この問題を解く気はない。

OPOQ=4として、x+y=4上の点を反転させて得られる図形が

  

このことは、r=2の時の反転の変換式

  

を使うと、

  

となることすぐに確かめられる。

shotou-36-01.png

【解】

P(α,β)とすると、Pは直線x+y=4上の点なので

  α+β=4

よって、直線OPの方程式は

  

Qはこの直線とx²+y²−x−y=0の交点なので

  

Qは原点とは異なる点なのでx≠0

したがって、

  

よって、

  

となり、OPOQは一定値で、その値は4である。

(解答終わり)


(※)

  


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テロ現場の空港が営業再開、死者42人に トルコ CNN [ネムネコの呟き]





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今日のクラシック、ギヤ・カンチェリ作曲 交響曲第5番 『わが両親の思い出に』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、
ギヤ・カンチェリ作曲 交響曲第5番 『わが両親の思い出に』
です。

ネムネコの秘密の情報網から仕入れたグルジアの現代音楽の作曲家の作品。
緊密な構成で、しかも、劇的、そして、緊張感に満ちた名曲だと思う。
是非、聞いて欲しいと思う。



この曲↑は、一応、ミニマル・ミュージックに分類されるようだ。
しかし、ミニマルミュージック的というよりは、旧ソ連的、社会主義時代のソ連の音楽的要素を色濃く持った作品のように思う。
この曲を聞いて、何気なく「プロコフィエフに似ているな」と思った。
音色の色彩感が似ているように感じられ、プロコフィエフのこの曲↓が頭に浮かんできた。



このカンチェリの交響曲第5番『わが両親の思い出に」は、掛け値なしの名曲だと思うよ。
一聴の価値がある曲だと思うので、是非、聞いて欲しいにゃ。


ムジナの冒険 14章の続き8 [ムジナの冒険]

「重たいだろうが。早く俺の体からどきやがれ。」


 聞き覚えのあるオコジョの威勢の良い怒鳴り声で、ムジナは目を覚ました。そして、オコジョが彼女の体の下敷きになり苦しそうにもがいているのを見て、驚いた表情を浮かべた。


 父ちゃんのかわりに、どうして、オコジョが私の下敷きになっているの。変よ、変。絶対に変よ。


 狐にでも摘ままれたような彼女が表情を浮かべているのを見詰めながら、オコジョが何度も「早く俺の体からどけよ」とあげる大声で我を取り戻したムジナは、慌てて彼の体から飛び退いた。


「お前の寝相が悪いのは知っていたが、今日のは最大級だな。何で、俺を下敷きにしたんだ。」


 ゾンビのように死んでもなお復活を遂げるホトトギスの復活を阻止するかのように体を重しにし、彼女は昨晩眠りに就いたのであった。彼女の全体重をかけられ、体の至る所が痛むのであろう、オコジョが体の具合を確かめながらそう尋ねてきた。現状から判断するに、父親であるホトトギスとの遣り取りの一部始終は夢であったのかもしれないと結論づける以外なかった。ムジナは、夢だったのかしらと思いながら、申しわけ程度に「ゴメン」と小さな声で謝った。そして、彼に奇妙な自分の夢について話し始めた。


 そういうわけよ。


 彼女は、そう言って、話を締め括った。しかし、その話をまったく信用していないのであろう、オコジョが不信感を露にして自分の顔を横睨みしていた。その刺すような彼の非難の眼差しを感じつつも、ムジナは新たな疑問を彼に提示した。


 あんた、本当にオコジョなの。父ちゃんじゃないの。


 彼女は、そう叫ぶと、彼の体に再び覆い被さった。そして、嗅ぎ慣れた彼の毛皮の匂いに気付き、彼が本物であることを確認した。それから、「ごめん」ともう一度謝って、緩慢な動きで彼の体から離れた。


「信じられん。」


 眠っている時に彼の体の上に乗ったことは寝相の悪い彼女のことであるから許すことが出来る。しかし、今の彼女の行動は許すことが出来なかった。オコジョは鋭い眼光でムジナを睨み付けた。さしものムジナも彼の白眼視には耐えられなかったようで、前肢でもじもじしながら、ばつの悪い表情を浮かべた。


 さっき、話したでしょう。私の父ちゃんが昨日オコジョに変装したのよ。で、ひょっとしたら、今もあんたに変身しているんじゃないかと思ったの。だから、そんなに怒らないでよ。オコジョは怒っているより笑っている方が素敵なんだから。


 ムジナのもじもじとする仕種を目にし勘違いしたのであろう、オコジョが、ハハーンと言う表情を浮かべ、「さては、俺との別れが悲しくて、何だかんだ言っているんだな。ならば、回りくどい真似をしないで、『オコジョのことを愛しているわ。私は、オコジョと別れられない』と言えばいいじゃないか。鼬界一の美男子の俺と別れ難いがたいのは、当然と言えば当然だがな」と、意味深なことを言った。


 折り重なるようにいつも体を寄せ合い、毎晩、ムジナとオコジョは眠っていた。文字通り肌を重ねてきたオコジョとの別れのことを考えると、ムジナは身を切られるほど辛かった。出来ることなら、いつまでも彼とこうして暮らしていたい。しかし、それは叶えられない願いであった。


 生まれたのは南海の孤島で、渡り鳥以外、外部から島に訪れる存在はいなかった。彼女は、そうした所で生まれたのだ。その後、ホトトギスの養女になり、王都での都市生活を始め、今では、それにすっかり馴致してしまっていたが、生まれが野生なので、ごく普通のムジナがそうであるように森の中で生き抜く智慧も力も有している。しかし、快適な都市生活を送っているムジナにとって、ミルクココアや飴玉のない森の生活に戻るなどなど論外であった。大好きなオコジョとこうして楽しく暮らせるとしても、ミルクココアと飴玉のない生活など考えられなかったのだ。オコジョが自分と同じように神殿で生活するのなら、末永く彼と暮らすことも可能であったかもしれない。しかし、彼女とは異なり、オコジョは自然に包まれているこの森の生活を捨てることは出来ないであろう。二人がどれほど愛し合っていようが、ライフスタイルの相異する二人が結び合うことは叶わぬ願いであったのだ。ムジナとオコジョは、互いに口には出さないが、そのことを良く知っていた。


 私には虎のおじちゃんと言う将来を誓った相手がいるのよ。兎に藍染めされるようなお馬鹿なオコジョに未練はないわ。ちょっと顔がいいくらいで好い気になるんじゃないわよ。あんたなんか虎のおじちゃんに比べれば、月と鼈よ。


 彼女は、これ以上ないほど口を大きく開き、彼の己惚れに呆れたという表情を浮かべ、言外にそのことを伝えた後、ゆっくりと彼に近付き、小さい彼の可愛らしい顔を覗き込んだ。


 いつもとは違う彼女の真面目な表情にオコジョは驚いた様子を見せたが、陽気で口の悪い彼らしく、「俺は鼬界一の美男子だから、見惚れるなのは当然だな」と、いつもの軽口を口にしようとした。その瞬間、ムジナが彼の唇に自分の唇を軽く重ねて、その口を塞いでしまった。


第35回 反転 [ネコ騙し数学]

第35回 反転


§1 反転とは

中心O、半径rの円がある。Oとは異なる点Pを、半直線OP上にあり

  

を満たす点Qに移す。この変換を反転といい、Oを反転の中心、rを反転の半径という。

shotou-35-01.png

Pが円Oの内部にあるとき、すなわち、OP<rのとき

  

になるので、Qは円Oの外部にある。

Pが円周上にあるとき、つまり、OP=rのとき

  

なので、P=Qになる。

さらに、Pが円の外部にあるとき、OP>rのとき

  

になり、Qは円の内部にある。

反転円(反転の半径r)の中心O(0,0)、さらに点PQの座標をそれぞれP(x,y)Q(X,Y)とする。

Qは半直線OP上にあるので、ベクトルで書くと

  

となる実数kが存在する。

座標で書くと

  

となる。

  

よって、
  shotou-35-siki-01.png

したがって、

  shotou-35-siki-02.png

また、

  

とおき、同様の議論をすると、

  shotou-35-siki-10.png

という変換式が得られる。

反転によるPからQへの移動を
  

であらわすとすると、②が変換式になる。

また、②と③を使って反転の反転を実際に計算してみると、

  
となり、反転の反転は自分自身であることがわかる。

反転の定義式

からこのことはほとんど明らかなのだけれど、こういう関係がある。

 


§2 問題


抽象的な話をしてもピンとこないと思うので、次の問題を解いてみることにする。


問題1

座標平面上の点(1,0)を中心とし、半径2の円をCとする。座標平面上の円Cの外側にある点Pと原点Oを結ぶ線分が、円Cの周と交わる点をQとし、

  

f(P)であらわす。

(1) Pの座標が(4,2√3)であるとき、f(P)の値を求めよ。

(2) f(P)=3となるような点Pの軌跡の方程式を求めよ。

【解】

(1) 点(1,0)を中心とする半径2の円Cの方程式は

  

Q(x,y)とすると

  

より、
  shotou-35-siki-04.png

Qは、円Cの円周上にあるので

  shotou-35-siki-05.png

k>0なので、k=2


(2) 点Pと点Qの座標を(X,Y)(x,y)とする。

f(P)=3なので

  shotou-35-siki-11.png

Qは円Cの円周上の点なので

  

よって、

  

よって、

  

(解答終わり)

最後で、さり気なく(X,Y)(x,y)にすり替えるのがポイント(^^)


この問題の(1)の場合、

  shotou-35-siki-06.png

となり、反転円は原点Oを中心とする半径√14の円

  

であることがわかる。
shotou-35-02.png


問題2

xy平面上の原点O以外の点P(x,y)に対して、点Qを次の条件(A),(B)を満たす平面上の点とする。
 (A) 点Qは、原点Oを始点とする半直線OP上にある。
 (B) 線分OPの長さと線分OQの長さの積は1である。

問1 点Qの座標をxyを用いて表せ。

問2 点Pが円(x-1)²+(y-1)²=2上の原点以外の点を動くときの点Qの軌跡を求め平面上に図示しなさい。

【解】

(1) OPOQ=1=r²なので、反転円の半径r=1

①より

  


(2) Q(X,Y)とすると②より

  

これを

  

に代入する。点Pは原点以外の円周上の点なので、⑨より

  

よって、
  shotou-35-siki-07.png

ここで、さり気なくXYxyにすり替えて

  

が求める軌跡ということになる。
shotou-35-03.png

(解答終わり)


紫色の点が点Pの単位円に関する反転によって得られる点。

また、Qに対する反転はPになるので

  

を反転して得られる図形(反形)が

  

になる。

ここから一般論にもってゆくのは危険なのですが、このことから原点を通る円(原点は除く)の反形は原点を通る直線に、原点を通る直線(原点は除く)の反形が原点を通る円になることを理解してもらえるのではないか。


一般論は

  shotou-35-siki-08.png

ただし、原点は除くとすればいいにゃ。

原点を通る直線は、反転の定義から、それ自身に映ることは明らか。

原点を通らない円については次回ということで。


タグ:初等幾何

ムジナの冒険 14章の続き7 [ムジナの冒険]

 ムジナは、オコジョをどこに隠したのか、その居所を突き止めるために、執拗にホトトギスに詰め寄った。しかし、ホトトギスは、「さあな」と惚けた表情を浮かべるだけで、オコジョの幽閉場所を結局彼女に教えなかった。強情な父親の口を割ることは不可能と判断したのであろう。ムジナは、わざとらしく大きな溜め息を一つ吐いてから、ホトトギスの惚けた顔を正視した。

 オコジョの居所を教えてくれないのは、分かったわ。だから、オコジョの幽閉場所については質問しない。その代わり、この質問にだけは答えてよ、父ちゃん。父ちゃんだって、このまま私にうるさく付き纏われるのは嫌でしょう。


「俺から言質を取ろうなど、百億万年早い。まあ、そのことは不問に付してやろう。それで、お前は何を聞きたいのだ。差し支えのない範囲で答えてやろう。」


 ライバルと言えるカイを陥れる計略をいつも練っているホトトギスらしい言葉であった。ムジナは、今更ながらに父親の悪辣非道ぶりに呆れつつ、彼にこう尋ねた。


 父ちゃん、オコジョは無事なのでしょう。明日の朝には、オコジョを返してくれるのでしょう。


「一度に二つの質問をするとは、ルール違反ではないか。まあ、いい。」


 ホトトギスは、呟くように小さな声でムジナにそう言った後、珍しくまともに彼女の質問に答えた。


「オコジョは無事だ。しかし、お前が逆立ちしてもいけない所で奴は今死んだように眠っている。明日の朝になれば、きっと意識を取り戻し、お前の前に姿を見せるであろうな。」


 ホトトギスが彼女の質問に珍しく答えたのは、明日の朝、彼女がオコジョと別れることを知っていたからだ。報われることのない二人の恋を悲観し、ひょっとしたら、駆け落ちをするのでは、心中をするのではと、これまで片時も気の休まらなかったホトトギスは、ムジナとオコジョの訣別が不可避であり、二人がどう抗おうと変えられない運命であることに気を好くし、当たり障りのない範囲で彼女の質問に答えたのであった。


 父ちゃん、オコジョの毛皮をセイラお姉ちゃんの襟巻きなんかにしようと企んでいるじゃないでしょうね。だとしたら、私は父ちゃんのことを絶対に許さないから。


 ムジナは、自分の懸念を素直に口にしただけであった。だが、彼女のその行動は薮蛇であった。彼女のその話を聞くと、ホトトギスは不敵な笑みを浮かべた。


「クロテンやラッコほどには珍重されないが、オコジョも同じ鼬の仲間だな。このことに思い至らなかったとは、商売人として失格の烙印をおされてもしょうがない。だから、ここは、お前の助言に従い、あのオコジョの毛皮を剥ぐことにしようか。」


 いかなる理由があろうが、ホトトギスは無益な殺生を行わない。生き物は生まれ変わり死に変わる。宇宙の終焉まで、生き物は輪廻転生を繰り返す。だが、輪廻転生を繰り返す主体は仮に同一だとしても、様々な偶発的な条件が複雑に絡まり合い、現在の生を得るのだ。その時々、その生命の形態は変わっており、どれ一つとして同じ物はない。それ故に、命は重要なのだ。一方、ホトトギスは、宇宙が終焉を迎えるその瞬間まで、死ぬことはない。その意味において、彼は、神々と同じく不死の存在であった。だが、それ故に、生まれ変わり、死に変わる、極ありふれた命の尊さを、それが、どれ一つとして互換のきかない唯一絶対の存在であることを、ホトトギスは誰よりも良く理解していた。だから、彼は、よほどの理由がない限り、貴重な生命を奪うことはしなかった。


 しかし、問題なのは、よほどの理由のほうであった。その時々の命を、ホトトギスは尊重していた。このことは確かである。しかし、同時に、ホトトギスは、この世の本来の住民ではなく、この世の道徳、倫理、価値観などに縛られていなかった。そして、時に、己の快楽、愉悦感と言った、全く個人的な自身の感情が他者の生命の尊厳に勝ることがあった。セイラが彼を無視したりすると、彼女の注意を自分に惹き付けるために、あるいは、無視された腹いせのために、ホトトギスは、わけもなく、嘴から巨大な炎を吐き、何の躊躇もなく、その炎の先にある昆虫や微生物などを大量に焼き殺していた。まして今回は、娘であるムジナの恋心を奪うだけではなく、その存在を彼から奪い取るかもしれないオコジョが相手である。オコジョの抹殺をはかろうとしても何の不思議もなかった。


 ムジナは、自分の失言に気付き、慌てて右の前肢で自分の口を塞いだ。しかし、既に遅かった。彼女の見ている前で、ホトトギスは、肩からかけているポシェットの中から、古代人が石器に良く使用した、しかし、人間が人工的に作るいかなる刃物よりも鋭い切れ味を有している黒曜石で作ったナイフを取り出した。そして、これ見よがしに、その刃先を舌でペロペロと舐め始めた。


 オコジョの毛皮を剥ぐために、その黒曜石のナイフを使用する心算なのかもしれない。その切れ味を試すために、ホトトギスは黒曜石のナイフの刃先を舐めているのであろう。そして、ホトトギスはそのナイフの恐るべき切れ味を我が身を以って経験することになった。


 父ちゃん、舌から血がだらだらと垂れているよ。父ちゃん、大丈夫なの。


 それまで自分の口を抑えていた右の前肢で、ムジナは彼の舌を指差し、彼にそのことを指摘した。これがごく普通のありふれた親子であったならば、ムジナは彼の怪我の具合を心配し、恐る恐る尋ねるであろう。しかし、彼女の父親であるホトトギスは、殺しても死なない存在であった。そのことを良く知るムジナは、至って淡々とした口調で事実だけを彼に指摘した。


 一方、彼女からその指摘を受けたホトトギスは、自分を脅かすためにそのような埒のないことを言っているのであろうと考え、彼女の話を真に受けようとしなかった。そして、彼は「そんな威しが父ちゃんに通用するものか。嘘を吐くのなら、もっと上手い奴を考えないといけない」と言いたそうな表情をして、小馬鹿にした様子で彼女を横睨みした。ホトトギスがそうしている間にも、大量の血液が舌の傷口から勢い良く流れ出していた。そして、彼は、血液の大部分を流出し、すぐに意識が混濁し、その場に卒倒してしまった。


 一方、ムジナは、嘴から倒れ込み、その嘴を地面に深々と突き刺している彼の姿を暫く遠巻きに観察していた。


 ホトトギスがゾンビのように蘇るのを恐れたためである。彼の身を心配して近付いたら、どうせいつものように、ゾンビのように蘇り、自分を脅かすに違いないと考え、彼女は注意深く彼の様子を窺った。観察の結果、彼がすぐには蘇生できないと判断し、それでも、彼女は、不測の事態に備えて、用心深く一歩一歩ゆっくりと足を進めた。


 延ばせば前肢が届きそうな所まで達した時、彼女は、その場に立ち止まり、地面に嘴を突き刺したままピクリとも動かないホトトギスの様子を再び観察し始めた。注意深く一、二分ほど観察した後、彼が絶命していると判断し、そのことを確かめるために、恐る恐る右の前肢を彼の体に差し延ばした。


 どうせ、あと一センチで前足が達するというときに、大きな声を出して、私を脅かそうとするに違いないわ。注意しないと。


 ムジナはそう考え、今にも触れようとしている右の前肢を一旦制止させた。それから、彼女は、生唾をごくりとゆっくり飲み干し、覚悟を決めて右の前肢で軽く彼の体を突ついてみた。


「俺が死んだと思ったか、この馬鹿が。これくらいのことで俺が死ぬものか。」


 普段なら、そう叫ぶのと同時に体を起き上がらせ、彼女の心胆を寒からしめたのを確認してから、カンラカンラと高笑いをするのであろう。しかし、この時のホトトギスはピクリとも動かなかった。彼が何の反応も示さないことを訝りつつ、父ちゃんは本当に死んだのかしらと考え始めた。


 ゾンビのように殺しても死なない父ちゃんだもの。生き返るのは時間の問題ね。生き返ったら、何かと面倒だし、どうようかしら。


 ムジナは、引っ込めた右の前肢を再び延ばし、彼の遺骸を触りながら、その善後策について考え始めた。しかし、適切な対処法を思い付かず、あれこれかと逡巡している間にも、一旦生気を失ったホトトギスの体に温かさが戻りはじめ、それと同時に、それまでピクリとも動かなかった彼の筋肉がピクピクと小刻みに震え始めてきた。


 彼女の予想していた通り、だが、彼女の予期していたよりだいぶ時間的に早かった。絶命した肉親が蘇生するのだから、本来ならば、感涙に噎んだり、欣喜雀躍して復活を喜ぶのであろう。しかし、今の彼女にとり、あまりに早い彼の復活は忌まわしい出来事であった。


 父ちゃんはなんてしぶといの。もう少し死んでいてくれてもいいでしょうに


 ムジナは、そう毒突きながら、しっかりと彼の体を口に銜えると、深々と突き刺さっている彼の嘴を地面から勢い良く引き抜いた。それから、忌々しげに彼の体に深々と犬歯を突き立て、それを銜えたまま塒である大きな空(うろ)に戻った。そして、彼女は、復活後に身動きを取れないように、彼の体を自分の下に敷き、安心をしたようにすやすやと眠り始めた。



第34回 問題演習 [ネコ騙し数学]

第34回 問題演習


円周角の定理や方べきの定理を使って解く問題の追加。


問題1

ABCの頂点Aより辺BCにおろした垂線をAH、外心をOAOと△ABCの外接円の交点をDとするとき、次のことを証明せよ。

(1) ∠BAD=∠CAH

(2) ABAC=ADAH

【解】
shotou-34-01.png

(1) △ABDと△AHCにおいて、

問題の条件より

  ∠AHC=∠R

ABは直径なので

  ∠ABD=∠R

同じ弧ABの円周角なので

  ∠ADB=ACB=∠ACH

よって、

  ∠BAD=∠CAH

(2) (1)より△ABD∽△AHC

  


問題2 (ブラマーグプタの定理)

円に内接する四角形ABCDの対角線が直交するとき、その交点をEとすれば

(1) Eから辺CDへおろした垂線は、対辺の中点を通る。

(2) 逆に、Eを辺ABの中点を結ぶ直線は、対辺CDに垂直である。
shotou-34-02.png
【証明】(1) △CEDと△EHDに注目。∠CEDは共通、また

  ∠CED=∠EHD=∠R

なので、

  ∠DHE=∠ACD

また、対頂角相等より

  ∠MEB=∠DHE=∠ACD

同じ弧ADの円周角なので

  ∠ABD=∠ACD=∠MEB

よって、

  MB=ME

ABEは∠AEB=∠Rの直角三角形なので

  AM=MB=ME

よって、EHABの中点Mを通る。

(2) ABの中点をMとし、MEの延長とCDの交点をHとする。

Mは直角三角形ABEの中点なので、

  AM=MB=ME

よって、

  ∠ABE=∠BEM

対頂角相等より

  ∠DEH=∠BEM=∠ABE=∠ABD

同じ弧ADの円周角なので

  ∠ECD=∠ACD=∠ABD=∠DEH

EDCは共通なので△DEH∽△DCE

よって、

  ∠DHE=∠DBC=∠R

したがって、EM⊥CDである。

(証明終わり)

ちなみに、円に内接する四角形ABCDの各辺の長さをAB=aBC=bCD=cDA=d、さらに

  

とするとき、円に内接する四角形ABCDの面積S

  

に等しい。

この公式をブラマーグプタの公式という。


問題3 上記のブラマーグプタの公式を証明せよ。

【証明】
shotou-34-04.png

  shotou-34-siki-02.png

よって、四角形ABCDの面積S
  shotou-34-siki-03.png
余弦定理より

  

ここで技を使って

 

ここで辺々を掛け合わせる。
  

①と②より

  
(証明終わり)


ブラマーグプタの公式が使えるのは、円に内接する四角形の場合だけ。一般の四角形には使えないので、注意が必要。

 


問題4

ABCの∠Aの2等分線と外接円が交わる点をEとする。BC=aCA=bAB=cとし、AEの長さを求めよ。

【解】

shotou-34-03.png
AD
の延長と円の交点をEとする。

ADは∠Aの二等分線なので、点DBC

  

に内分する。

よって、

  

ABDと△AECに注目。

同じ弧ACの円周角なので

  ∠ABD=∠ABC=∠AEC

また

  ∠BAD=∠EAC

よって、△ABD∽△AEC

  

方べきの定理より

  

AB=cAC=b、①、③、④から

  

②より

  

(解答終わり)

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