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今日のアニソン、アニメ「SHUFFLE!」から「You」 [今日のアニソン・アーカイブ]

今日のアニソンは、アニメ「SHUFFLE!」から「You」です。



さらに、このアニメからこの曲を。




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ホトトギス捕物帖 5章のはじまり [ホトトギス捕物帖]

五章
 
 事情を知らなかったとは言え、ホトトギスのお茶目な悪戯に驚き、雀は卒倒してしまった。この騒動で、ホトトギスに対するセイラの詮議はうやむやになってしまった。
「おい、大丈夫か。」
 ホトトギスの心配そうな声で雀は目を覚ました。事情が飲み込めないらしく、雀は怪訝そうな顔をしてあたりを二度三度見回した。そこが人間の部屋であることに気付き、雀の謎はますます深まった。
 驚きからただ気を失っただけあった。しかし、目を覚ました雀が無事であることを知り、ホトトギスはホッと安堵の息を漏らした。それからホトトギスは雀の口に熱燗の酒をゆっくりと注ぎ込んだ。
 雀は「済まない。感謝する」と短く返事をし、ゴクゴクと喉を鳴らし熱燗の酒を飲み干した。
 眠っていようが、気絶していようが、時間が経てばお腹が空く。気絶から目覚めたばかりで頭が朦朧としていたことも手伝い、雀は空腹を憶えていなかったが、実は、気を失ってから、既に半日近い時間が経過しており、雀のお腹はペコペコであった。すきっ腹の所に、いきなり熱燗の酒を入れたのであった。雀はたちまち酔っ払ってしまった。
 アルコールは、脳の機能を麻痺させる。特に、新しく獲得した大脳新皮質は重大な影響を受ける。大脳新皮質は通常は本能などを司る古い脳より優勢で性的衝動などを押さえる役目も担っている。アルコールを体内に摂取することにより、そうした大脳の活動が弱まり、本能的な行動を取るようになる。
 何もそれは人間に限ったものではなかった。その雀もこの例に漏れずそれまで休んでいた蒲団から抜け出すと、床の上を猛烈な速度で駆け回った。
 飲酒をし、急に辺りを駆け回ったためであろう。アルコールが全身に回り、雀は突然ぱたりと倒れ込んだ。
「飲んで急に走り出したりするからだ。」
 ホトトギスは、雀の体を起こしながら、呆れた様子で窘めた。
「久しぶりの酒だったもんで、調子に乗り過ぎてしまった。そんなことより、ドンドン遣ろうぜ。」
 豪快と言うべきか、はたまた、ただの酔っ払いと言うべきか、酩酊状態にある雀はそう言った。ホトトギスはさらに呆れた様子を浮かべたものの、雀に肩を貸せて席に戻ると、ポシェットの中から、ワインと言うより葡萄を原材料にする酒とでも形容した方が適切に感じられる、アルコール醗酵がまだ十分に進んでいないブドウの果実酒を取り出した。
 アルコールの醗酵があまり進んでいないのだから、普通のワインに比べるとアルコールの度数が低い。果糖や葡萄糖をアルコールへと変化させるアルコール醗酵がまだ十分に進んでいないために、葡萄ジュースのように甘くて、口当たりが非常によかった。
 すきっ腹であったとは言え、熱燗を一般飲んだだけで、雀は酩酊してしまった。この雀はあまり酒に強くないと判断したホトトギスは、わざわざアルコールの度数が低く、甘くて口当たりの良い酒を選択しただ。もっともも、理由はそれだけではない。何故なら、ホトトギスは倹約家で、大変な吝嗇家でもあったからである。酒の味を理解できない奴に良い酒を飲ませる気にはならなかったのであった。
 何処から調達したのか不明であるが、ホトトギスは、子供の飯事に使用されるような小さなワイングラスをポシェットの中から取り出すと、彼としては珍しく気前良く、安物ワインをそこになみなみと注いだ。ただの雀であり、何処まで理解できるのか甚だ疑わしが、雀はなみなみとワイングラスに注がれた赤ワインの色を暫くじっと見た後、「なかなか良い葡萄を使っているではないか」と嘯き、その熱燗を一気飲みした時とは違い、舐めるように飲み始めた。
 ホトトギスは、雀のその姿に妙な滑稽さを憶え、波のように次から次へと押し寄せてくる笑いを懸命に堪えつつ、顔を横に向けた。そして、右の翼で顔を隠しながら、声を潜めてくすくすと笑った後、「俺様としたことが。こんなことも気付かないとは」と言って、ポシェットの中から神殿の松から採集した松の実と、王都の街路樹として植えられている公孫樹が道に落とした、その悪臭から王都の人間に疎まれ見向きもされなかった銀杏を拾い集めた物を摘みとして出した。
 落ちていた物を拾い集めるのに労力はかかったものの、松の実も銀杏も元手がかかっていない。それを出すのが如何にも守銭奴のホトトギスらしかった。だが、味は別として、松の実も銀杏も非常に栄養価の高い木の実である。雀の体に比較すると極端に大きい銀杏はとにかく、松の実は、香が良いだけではなく、脂肪分が高くて、摘みにはもってこいであった。
 ホトトギスは、「見よ、この奇蹟の業を」と言うと、取り出した銀杏と松の実を突然中空に放り投げた。それからそれを目掛け、大きく開いた嘴から、「ゴー」と言う音を立てて紅蓮の炎を放った。


ワンポイントゼミ6 極大と極小 [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ6 極大と極小


極大、極小の定義

関数f(x)が点x=x₀においてとる値f(x₀)x₀の近傍(x₀を含む十分小さな開区間)で、x≠x₀ならばf(x₀)>f(x)f(x₀)<f(x))であるとき、f(x)x=x₀極大極小)といい、f(x₀)極大値極小値)という。極大値、極小値をあわせて極値という。

 

問1 定義域をa≦x≦ba<b)とする定数関数f(x)=cがある(cは定数)。

f(x)が極大、極小になる点とその値を求めよ。


extremum-01.png

【答】

極大、極小になる点、極大値、極小値は存在しない。
(おしまい)

x₀≠xならばf(x₀)>f(x)=cf(x₀)<f(x)=c)である点x₀x₀∈[a,b]に存在しない――そのような点x₀が存在するとすれば、f(x₀)>cf(x₀)<c)になってしまい、f(x₀)=cに矛盾する――。したがって、この場合、極大値、極小値とも存在しない。




問2 実数全域で定義された次の関数f(x)がある。

  

f(x)の極値を求めよ。

【答】

f(x)

  

この関数の概形は次の通り。

extremum-02.png

x=−1の十分に近いところにおいて、x≠−1ならばf(x)>f(−1)=0が成立するので、x=−1で極小。

x=1の十分に近いところにおいて、x=1ならばf(x)>f(1)=0が成立するので、x=1で極小。

x=0の十分に近いところにおいて、f(x)<f(0)=1だから、f(x)x=0で極大。


したがって、

極小値0 (x=±1

極大値0 (x=0

(おしまい)

関数が微分可能であるとき、極値をとる点aでは、かならず、f'(a)=0でなければならない。

問2の関数は、x=±1以外では微分可能で、その導関数f'(x)
  extremum-siki-01.png
だからx=0f'(0)=0となり、この条件を満たしている。

しかし、x=±1で、f(x)は微分可能でないから、この条件を満たしていない。そもそも、導関数f'(x)x=±1で定義されていない。


また、f(x)=x³は実数全域で微分可能であるけれど、f'(x)=3x²=0となる点x=0で極値をとらない。

extremum-03.png


このことから、f'(a)=0という条件は、微分可能な関数f(x)x=aで極値をもつための十分な条件でないことがわかる。f'(x)=0という条件は、微分可能な関数f(x)が極値を持つために満たさなければならない、必要な条件にすぎない!!


ひとつ質問をするが、

  

x=±1における接線の方程式は?


extremum-04.png


赤と青で示されている直線がこの曲線の接線?
それとも、これとは違う他の直線。
あるいは、接線は存在しない(^^)


タグ:微分積分

3次方程式2 [ネコ騙し数学]

3次方程式2


問題1 3次方程式x³+px+q=0が重複解をもつとき、

  

なる関係があることを証明せよ。

【解】

f(x)=x³+px+qとおき、3次方程式f(x)=x³+px+q=0の重複解をαとすると、

  

であり、

  

f(x)を微分すると

  

したがって、

  

③より

  

①より

  

④と⑤より

  3ji-houteishiki-siki-00.png

(解答終わり)

②の微分のところでは、次の微分公式を使っている。

  



問題2 3次方程式x³+px²+q=0が重複解をもつとき、pqにはどのような関係があるか。

【解】

f(x)=x³+px²+qとおき、αを重複解とすると、

  3ji-houteishiki-siki-01.png

よって、

  

②より
  3ji-houteishiki-siki-02.png

(1) α=0のとき、①よりq=0


(2) のとき、これを①に代入すると

  3ji-houteishiki-siki-04.png

よって、

4p³+27q=0、または、q=0

(解答終わり)


ちなみに、p=q=0のときは、3重解でx=0が解。



問題3 abcが相異なる実数で、

  

のとき、ab+bc+caの取りうる範囲を求めよ。

一見すると、3次方程式とは関係なさそうな問題ですが・・・。


【解】

  

とすると、

  

これが成立するのは、次の3次方程式

  

が相異なる3つの実数解をもつということ。

3次方程式の解と係数の関係より、

  

①はx=0を解に持たないので、

  

①は②と同値。

  

とおくと、

  

よって、f(t)で極小値をとる。

  

f(x)のグラフは次のようになる。

3ji-houteishiki2-02.png

f(x)=kの実数解の個数とy=ky=f(x)の交点の個数は等しいので、相異なる③つの実数解をもつためには

  

したがって、

  

(解答終わり)

次のように、y=x³+1y=kxとの交点の数を調べて、kの範囲を定めてもよい。。


3ji-houteishiki2-03.png

曲線y=x³+1上の点(t,t³+1)における接線の方程式は

  

これが原点を通るとすると
  3ji-houteishiki-siki-03.png

この時の傾きは

  

したがって、y=kxy=x³+1とに接するとき

  

よって、y=kxy=x³+1の交点の数、つまり、x³−kx+1=0の実数解の個数が3のとき、

  


うまいな、俺(^^ゞ [ネムネコの呟き]

今日、8月30日にブログで公開した『ホトトギス捕物帖』の第4章の終わりを読み、
「オレ、文章、うまいじゃないか」
と、ひとり悦に入る。

文章をアップする前に、『ホトトギス捕物帖』だけは
――ねむねこ幻想郷、ねこ騙し数学にアップされている文章はどれも、たとえ、それが数学の記事であったとしても一発勝負、修正を加えることなく、書き上げたものをそのままブログにアップする。『ホトトギス捕物帖』だけはブログにアップする直前に読み返し修正を加えるの意味――
誤字や脱字などを修正するために、また、冗漫な箇所を削除するために――やたらと説明的な文章が多いので――文章を読み返しますが、
ネムネコ・ファンタジーの諸作品の多くは、尽きることのない泉のように、私の内部から次々と沸き上がってくるものをただ書き連ねた、書きなぐったものであり、推敲などは一切していません。
書く前に「こんなような流れで話を書こう」というブループリントは頭の中で直観的に描きますが、いざ書き始めたら、その場の思いつき、閃きにしたがって話を進めてゆく。そして、次から次へと私の頭に浮かんでくる言葉をキーボードを叩いてPCに入力してゆく。
そういったものであります。

『セイラ』、『セイラ3』、そして、『シェリル」の3作品は、大昔に、書き上げてから何度も手を入れていますけれど、他の作品はすべて書きっぱなしで、まったく手を入れていません。

ハッキリって書きなぐったものですから文章的にはどうかと思うところが多々あるのですが、
今日、アップしたものは、やたらと上手いじゃないか。
とても書きなぐったものとは思えない。
オレって、実は、文才に恵まれている、いたんじゃないか、
こんなことを思いました(^^ゞ

たまに、こんなことでも思わないと、とてもじゃないけれど、こんなものを公表できない(笑い)。

ホトトギス捕物帖 4章の終わり [ホトトギス捕物帖]

 ホトトギスを裏切りセイラに寝返った雀は、ホトトギスが嘴からどす黒い血を流し、全身をピクピクと小さく痙攣させているのを見て、あまりに凄惨なその光景に嘴を右の翼で押さえた。体の奥底から何度も襲ってくる激しい吐瀉感を何とか堪えつつ、自分の選択の正しさを知った。また、これ以上ここに留まると、ホトトギスを襲った災難が自分の身に降りかかるかも知らないと考え、この場を立ち去る決心した。
 そこで、雀は、ジャンプして羽ばたくまでの時間を確保するために、さりげない動きをしてセイラの視界から離れようとした。
「あんた、何処に行く心算。まさか、この場から逃げようなんて考えているんじゃないでしょうね。」
 セイラの言葉は理解できなかったが、彼女が何を言っているのか、不思議と雀は理解できた。雀は、ばつの悪い表情を浮かべながら元いた場所に戻ると、火の粉が自分の身に降りかからないように身振り手振りで身の潔白を立てようと試みた。しかし、セイラから返ってきた言葉は冷淡なものであった。
「自分はホトトギスと無関係だと言いたいのでしょう。そんな都合の良い話を信じられるものですか。」
「そうだ、そうだ。自分だけ良い目を見ようなんて、虫が好すぎる。死なば、もろともだ。」
 セイラから受けた被害から回復したホトトギスが、知らぬ間に彼の後ろに回っていた。そして、不敵な笑みを浮かべ、雀の右肩をぽんと叩いた。
 セイラの右回し蹴りを食らい、確かにホトトギスは死んだ筈である。そのホトトギスが僅かな時間の内に、死に至る重傷を直し、まるで何事もなかったかのように自分の後ろに立っていたのである。驚きと同時に底知れない恐怖心を感じ、雀の顔面から血の気が一斉に消え去った。そして、その恐怖心から顔を引き攣らせ、雀は「お前は死んだのではないか。それなのに、何故、生きているのだ」と尋ねた。
 その雀は、その存在自体が非常識なホトトギスと知り合ってからまだ幾らの時間も経っていなかった。そのため、ホトトギスが殺しても死なないしぶとい存在であることを知らなかった。雀がホトトギスの復活を目の当たりにし、強く動揺するのも、事態の説明をホトトギスに求めるのも当然であった。
「久しぶりに上手い銀シャリを食べた。この恩は決して忘れないぞと、お前は俺に誓ったではないか。にもかかわらず、その舌の根も乾かない内に、俺を裏切るとは。この無念さから、俺は蘇ったのだ。さあ、ともに奈落の底まで落ちようではないか。」
 ホトトギスは、極軽い気持ちで奈落の底という言葉を使用したが、死んだ筈の彼がその言葉を使ったのである。雀の目には、自分の背信行為に対する恨みから、文字通り黄泉の世界から蘇ったかのように思われた。そして、その雀は立ったまま気を失ってしまった。


ワンポイントゼミ5 問題4の別解 [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ5 問題4の別解


記事「3次方程式」の問題4の別解を紹介する。こちらのほうが素直な解答。


問題4 3次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

f(x)=x³+4x²+kx−18とおくと、f'(x)=3x²+8x+k

f(x)x軸と接するから、接点のx座標をαとすると、f(α)=0f'(α)=0でなければならない。

3ji-houteisiki-01-01.png

 

②より

  

これを①に代入すると

  

g(α)=α³+2α²+9とすると、g(−3)=0。よって、g(α)α−(−3)=α+3を因数に持つ(註・因数定理)。

したがって、

  

α=−3を③に代入すると、

  zemi5-01.png

(解答終わり)

このように解いてもよい。


【註】

因数定理

整式f(x)x−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。

g(−3)=0だから、因数はx−(−3)=x+3

x−3ではないので、注意!!
タグ:微分積分

3次方程式 [ネコ騙し数学]

3次方程式


問題1 x³+x−8=0は、ただ1つの実数解を、12の間にもつことを示せ。

【解】

f(1)=−6f(2)=2だから、中間値の定理より、f(x)=0を満たすx1<x<2に存在する。

f(x)=x³+x−8とすると、

  

f(x)は単調増加。

したがって、f(x)=x³+x−8=0を満たす実数解は、12の間にただ一つである。

(解答終わり)


問題2 3次方程式x³+x²−x+a=0の実数解の個数がaの値によってどう変わるか調べよ。ただし、重複解は1つと数える。

【解】

x³+x²−x+a=0の実数解は

  

y=aとの共有点のx座標である。

①式を微分すると

  

したがって、増減表は


x





1





1/3





y'





0





0





y



減少



1



増加



5/27



減少



したがって、

a>5/27a<−1のとき、実数解は1個

a=5/27a=−1のとき実数解は2個(重複解が1つ)

1<a<5/27のとき実数解は3個


graph-100.png


(解答終わり)


問題3 3次方程式2x³+3x²−12x+a=0が重複解をもつようにaの値を定めよ。また、そのときの解を求めよ。


問題2と同じように、y=−2x³−3x²+12xy=aの共有点の個数を調べてもいいが、次のように解くこともできる。

【解】

f(x)=2x³+3x²−12x+aとすると、

  

よって、f'(x)=0の解はx=−2x=1

したがって、f(x)=0f'(x)=0が共通解をもつならば、x=−2またはx=1でなければならない。

(1) x=−2が重複解の場合

  

このとき、

  

よって、x=−2(重複解)、x=−5/2である。


(2) x=1が重複解のとき

  

このとき

  

よって、x=1(重複解)、x=−7/2


graph-102.png

(解答終わり)


【別解1】

f(x)=2x³+3x²−12x+a=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

  

これを微分すると、

したがって、

  

でなければならない。

(1) α=−2のとき


a

  


(2) α=1のとき、


(別解1終わり)


微分を使わずに、次のように解くこともできる。

【別解2】

αを重複解、βをもうひとつの解とする。

  

左辺と右辺の係数を比較すると、

  

①より

  

これを②に代入すると

  

(1) α=−2のとき



(2) α=1のとき


(別解2終わり)

問題4 3次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

y=x³+4x²+kx−18x軸に接するということは、3次方程式x³+4x²+kx−18=0が重複解をもつということ。

3次方程式x³+4x²+kx−18=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

  

解と係数の関係より

  

①より

  

これを③に代入すると

  

よって、α=−3

③より

  

②より

  


graph-102.png

(解答終わり)


嬉しいね〜♪ [今日のアニソン・アーカイブ]

アニソンの選曲には絶対の自信をもっておりますが、曲紹介をした記事にniceがつくと嬉しいね〜。

今日のアニソン、東方から「惑いて来たれ、遊情の神隠し〜Border of Death」
http://nemuneko-gensokyou.blog.so-net.ne.jp/2016-08-28

ネムネコがやっているアニソン専門ブログである「ねこ騙し数学」では、今年に入ってすでに数百曲もアニソン、ゲーム音楽などを紹介してきましたけれど、アッチの訪問者は無反応ですからね〜。
ココと同じく、ほとんどがブックマークからの訪問者ですから訪問者は常連さんなのですが、時に虚しい物をおぼえてしまいます。

アッチでアニソン紹介を始めて、訪問者数、ページニューともに、それ以前の3倍くらいに増えた。
数学の記事を読みに来ているのか、アニソンを聞きに来ているか、わからない。
数学の記事だけだと、あまりに味気ないから、訪問者のサービスとしてアニソン紹介を始めたんですけれどね〜。

ちなみに、アチラの今日のアニソンはこの曲です。




ワンポイントゼミ4 微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める [ネコ騙し数学]

ワンポイントゼミ4 微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める



問題 f(x)を2次以上の整式とする。

(1) f(x)(x−a)²で割ったときの余りが

  

であることを証明せよ。

(2) f(x)f(x)(x−a)²で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0であることを証明せよ。

(3) x⁷−2x+4(x−1)²で割った余りを求めよ。

【解】

(1) f(x)f(x)(x−a)²で割った商をQ(x)、余りをpx+qとすると

  

xで微分すると、

  

①、②にx=aを代入すると、

  

④よりp=f'(a)、これを③に代入すると、

  

よって、余りは

  

である。

(2)

【⇒の証明】

(1)より、f(x)(x−a)²で割ったときの余りは

  

仮定より、f(x)(x−a)²で割り切れるので、f(x)(x−a)²で割ったときの余りは0である。

したがって、

  

でなければならない。

これが任意のxについて成り立つので、

  

⑤より、f'(a)=0

⑥より

  

したがって、f(a)=0f'(a)=0である。

【逆の証明】

f(x)(x−a)²で割ったときの余りは

  

仮定より、f(a)=0f'(a)=0

したがって、

  

以上のことより、

f(x)f(x)(x−a)²で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0である。


(3)

  

よって、

  

(1)より、余りは

  

(解答終わり)

 


  

xで微分するとき、次の微分公式を使っている。

  

この公式を使うと、

  

(x−a)²の微分で、もう一度、微分公式を用いると、

  

したがって、

  04-02.png

となる。

もちろん、

  04-01.png

と計算してもよい。

また、同様の議論から、

  

  ――n=2のとき、こうなることを確かめよ――

したがって、F(x)が整式であるとき、y=F(ax+b)xで微分すると

  


話を元に戻すが、

問題より、f(x)が整式であるとき、f(x)=0が重複解(重根)を持つための必要十分な条件は

  

が共通解を持つことである。


タグ:微分積分