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今日のクラシック、ヘンデル作曲『ハープ協奏曲変ロ長調』とモーツアルト作曲『フルートとハープのための協奏曲ハ長調』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、ヘンデル作曲『ハープ協奏曲変ロ長調』とモーツアルト作曲『フルートとハープのための協奏曲ハ長調』です。

まずは、ヘンデルの作曲のこれから。



非常に有名な曲ですから、作曲者、曲名はわからなくても、1度や2度、どこかで聞いたことがある曲ではないでしょうか。
小品ですが、いかにもヘンデルらしく、美しい旋律と響きがとても印象的な一曲だと思う。

次に、モーツアルトの『フルートとハープのための協奏曲』♪



モーツァルトだから文句をつけたら、音楽の神様から怒られてしまう(^^ゞ

今回、「ハープ協奏曲」を取り上げたのは、ネムネコの秘密の情報源に次のような記述があったから。

ハープのために作曲するのは簡単ではありません。ピアノには白鍵と黒鍵があり、オクターブの中に12の音がありますが、ハープはオクターブの中に7本の弦しか貼っておらず、その間の半音は、ペダルを踏んで音高を変えます。ですので、半音階は演奏できませんし、複雑な和音や転調をする場合は、ペダルの用法などを十分考慮しなければなりません。オーケストラの曲を書くときには、私もハープをよく使いますが、7本の弦という制約の中で、ペダルの踏み方の工夫でどれだけのことができるか、常に頭をひねらなければなりません。古典的な曲ならいいのですが、現代的な響きを作るには相当考え抜かなければなりません。

(出典:ネムネコの秘密の情報源)

サン=サーンス、ドビュッシー、ラヴェルなどのフランス系の作曲家の作品にはハープのための(協奏)曲があるようですが、この記事を読んだ時、「ハープの曲ってどんなのがあるっけ」と思って、頭に浮かんだのがヘンデルとモーツァルトの協奏曲であった。
この2曲くらいしか、思いつかないんだケロ。

ハープのためのクラシックの曲が少なかったのは、こういう理由、作曲上の制約があったからなんですね。

今でこそ、日陰者のハープですが、この楽器の歴史は古いケロよ。少なく見積もっても5000年の歴史がある。






コッチはコッチで、西洋の、クラシックのただただ綺麗な響き、音だけのハープとは違った魅力があっていいじゃないですか(^^)



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駱駝 2章の続き1 [ラクダ]

 ムジナは、なんとか船窓に飛びつき、必死に後ろ足をバタバタさせ、船窓の上に登ろうとした。そして、一角大雪兎が船酔いで動けないのをいいことに、麗しの猫が彼に何かするのではないかと考え、止めなさいよと大声を上げた。しかし、ムジナの制止の声を敢然と無視し、麗しの猫は、一角大雪兎の横になっている寝台に近付いた。そして、寝台に辿り着くと、彼女は軽い身のこなしで寝台の上に飛び上がり、額を一角大雪兎にぴたりとくっ付けた。
「熱はないわね。もう死ぬのかと思ったのに、これだと、当分、死にそうにないわね。煩いのが一匹いなくなると喜んでいたのに、本当に残念だわ。」
 麗しの猫は、船員から「麗しの女神」とか「麗しの君」と呼ばれ、大切にされていた。彼女が船に乗り込んでいる唯一の女性ということもあったが、彼女が船に乗り込んでいる全ての男から傅かれているのは、何もそれだけが理由ではなかった。その真の理由は、淑女を思わせる彼女の優雅な身のこなしであり、非の打ち所のない彼女の美しい顔の造りであった。そのため、一角大雪兎は、舌を出せば鼻の頭を舐めれることができる程の間近で彼女の端正な顔を目にし、顔を真っ赤にさせた。そして、息をするのも忘れ、彼女の端整な顔を見詰め続けた。
 一方、一角大雪兎から見つめられているそのネコは、「私の顔を見惚れるのは、男ならば当然の反応だけど、いつまで間抜け面を見せているのよ」と言った後、続けて「まあ、これだけの元気があれば、死ぬ心配はないわね」と言った。そして、彼女は、彼に呆れ顔を見せた後、顔をぷいと横に向け、彼の枕元に腰を下ろした。
 彼女の気配を身近に感じ、一角大雪兎の体は火照り始めてきた。
 この胸の高鳴りは何なのだろう。ひょっとして、船酔いのあまり、俺の心臓はいかれてしまったのだろうか。それとも、健康には十分すぎるほど注意したつもりだが、ひょっとして、心臓病にでも罹ったのだろうか。こんなことは初めてだ。いったい、いま、俺の心臓で何が起こったのだろう。
 彼は、胸の高鳴りの正体が理解できず、当惑した。そんな彼に「麗しの猫」は優しい声で「体の調子が悪い時は眠るものよ」と囁きかけた。彼女のその言葉がまるで呪文であるかのように、一角大雪兎は素直にコクリと頷き返すと、安らかな表情を浮かべ、静かな寝息を立て始めた。
 兎は私の仲間なのよ。だから、私の許可なしに兎と仲良くしないでよ。それに、あんた、兎に何をしたの。兎は船酔いで苦しんでいたのに、なんで、いま、死んだように眠っているのよ。まさか、あんたは、悪の魔法使いで、兎に変な魔法をかけたんじゃないでしょうね。
「猫に魔法が使えるはずないでしょう。あんた、頭がおかしいんじゃないの」と呆れてみせた後、彼女は「口煩い兎がやっと眠ったんだから、あんた、少し静かになさい」と叱り付けた。そして、鋭い眼光でムジナの口を完全に封じた。それから、彼女も一角大雪兎の枕元で横になると、体を丸くして、眠り始めた。


ブログの記事に埋め込んだYouTubeの動画がFireFoxで全画面表示されなくなった [ネムネコの呟き]

今日、Ubuntuのアップデートをしたら、
ブログの記事に埋め込んだYouTubeの動画がFireFoxで全画面表示されなくなってしまった。


(↑イメージです。再生ボタンをクリックしても動画は再生されません)

上の赤線で囲まれたところに、
全画面表示は利用できません
と表示されるようになってしまったケロ。
昨日までこんな表示は出ていなかったと思う。

about:configでFireFoxの設定(値)を変えればいいのだろうけれど、どこをどう変えたらいいのかわからないにゃ。
わかったとしても違うところの値を変えて、設定を変えて、ブラウザがうまく起動しないなどの深刻な事態に至ったら大変だケロ。
そう思うと、怖くてできないケロ。
触らぬFireFoxに祟りなしだにゃ。

それはそれとして、最近、ネムネコのFireFoxは、超重いんだケロ。
負荷の大きい、「ねむねこ幻想郷」や「ねこ騙し数学」にアクセスすると、画面が表示されてからすべての表示が終わるまで、
20〜30秒
もかかってしまう。

超軽量のMidoriだと数秒だにゃ。

FireFoxは、セキュリティー面で最強、かつ、超高機能だとしても、これはちょっと遅すぎるケロ。
この遅さは何とかならんのかね。



シンプルの作りであった昔のUbuntuやFireFoxが懐かしいにゃ。



番外編 だ円の回転 [ネコ騙し数学]

番外編 だ円の回転


問題 曲線5x²+6xy+5y²=8
・・・①を原点のまわりにθだけ回転して、Ax²+By²=C・・・②の形にしたい。θの値をいくらにすればよいか。


(x,y)を原点まわりで反時計回りにθだけ回転したときの点を(X,Y)とすると、(x,y)(X,Y)との間には

  

という関係がある。

行列で書くと、

  

したがって、

  

これを①に代入すると、

  

これを整理すると、

  

ここで、

  

だから、③は

  

これがAX²+BY²=Cの形になるためには、

  

したがって、θ=45°=π/4(rad)にすればよい。

何故ならば、cos90°=0だから。

daen-kaiten-01.pngsin90°=1だから、④は

  

となり、このXYxyに戻して、

  

これは、右図に示すだ円。

(解答終了)


回転させただけだから、だ円の面積は変わらない。

だ円、

  

の面積はπabだから、

  

の面積は

したがって、

  

の面積も

積分することなく、曲線①の面積が求まった。


ちなみに、赤い線がだ円①の長軸、紫色の線をだ円①の短軸という。


なぜ、そうなるかについては、将来、2×2の行列と1次変換について詳しく述べることにして、他の方法で回転角θを求めることもできる。


曲線①から

  

という行列を作り、固有値と固有ベクトルを求める。

  

⑥が(x,y)=(0,0)以外の解をもつためには、行列式

  

で、k=2,k=8を⑤にそれぞれ代入すると、k=2のときx+y=0k=8のときx−y=0

x+y=0は赤の直線、つまり、長軸の直線の方程式。

x−y=0は紫色の直線、つまり、短軸の直線の方程式。

実はそれだけではなくて、

  

というだ円の方程式まで出てしまうのであった。

一般化すると、

  

という2次曲線の方程式がある場合、

  

という行列の固有値と固有ベクトルを求めるとよいという話でした。


小中学生の理数学力、過去最高 国際テスト 日経 [ネムネコの呟き]





駱駝 2章のはじまり [ラクダ]

二章
 
 ホトトギスとカイに見送られ、ムジナと一角大雪兎を乗せた船は出港した。春先の天気は猫の目のように変わり易いのだが、この時期としては珍しく天候に恵まれ、航海は順調そのものであった。しかし、初めて船に乗り、外洋に乗り出した一角大雪兎は激しい船酔いに襲われていた。このまま死ぬのではないかという印象を与えるほど憔悴しきった表情を浮かべ、彼はぐったりと寝台の上で横になったいた。
 そんな一角大雪兎とは対照的に、ムジナは元気そのものであった。久し振りの船旅に興奮し、名義上ではあったが、ホトトギスマークの会長でありこの船のオーナーであるホトトギスのために用意された船先の平坦部に腰を下ろし、鏡のように静まり返っていた海を眺め、満悦の表情を浮かべていた。しかし、父親譲りの騒動好きの彼女が何時までも変わり映えのしない海面を見詰めていられる筈がなかった。やがてそれに退屈した彼女は、ピョンと甲板に飛び降りると、洗面器を手放せない一角大雪兎の部屋に入って行った。
 兎、具合はどう。少しは楽になった。
 自分の体の具合を心配してやってきたのか、はたまた退屈凌ぎに遣って来たのか、一角大雪兎は分からなかったが、見舞いに遣って来た彼女の応対をするために、洗面器を抱えたまま体を起き上がらせた。
「俺はこのまま死んでしまうかもしれない。もし俺が死んだら、俺の遺体は荼毘に付し、遺灰の一部をカイと角付き駱駝達に渡してくれ。残りの遺灰は、俺を死に追いやった海に流してくれ。俺は悪霊になって、海を呪い続けてやる。」
 遅くとも一週間、通常は二三日船酔いに苦しめば、その苦しみから解放される。外洋の船旅の経験者であるムジナは身を以ってそのことを知っていた。そこで、ムジナは「弱音を吐くなんて、兎らしくないわね。さあ、これでも食べて、元気になりなさい」と言って、彼女は背負っているリュックサックの中から彼女の大好物である薄荷飴を一つ取り出し、彼の枕元に置いた。
 これを食べれば口の中がスースーとして、気分が爽やかになるわ。そうなれば、こっちのものよ。元のようにご飯を一杯食べられるようになるわ。
 絶えず吐き続けた黄色い胃液のために、彼の口の中は異様に酸っぱかった。返って気分が悪くなるのでは、と思ったが、折角のムジナの気遣いを無にするのも悪いと、彼女の見舞いの品である薄荷飴を口の中に放り込んだ。それを口にして気分はすこし良くなったが、一角大雪兎は再び洗面器を抱えたまま寝台に横になった。
 私が風邪を引いてダウンした時、父ちゃんから貰った薄荷飴で具合が良くなったのに、変ねえ。兎は目付きが悪くて性格がねじけているから、薄荷飴は効かないのかしら。やっぱり私のように性格が良くないと駄目なのね。
 ムジナは、そう妙に納得し、一角大雪兎の横になっている寝台の上にピョンと飛び乗った。そして、彼の背中を鼻の頭で優しく摩り始めた。
「女の子に看病されるなんて、情けないわね。それでも一人前の男なのかしら。」
 新鮮な空気を入れるために大きく開かれた船窓にちょこんと座り、何時しか部屋に姿を現した、この船の荷物の警備、管理責任者であるあのメス猫が呆れた様子で一角大雪兎に話し掛けてきた。船酔いをしていなければ、即座に反論を試みるところであるが、酷い船酔いで体力だけではなく気力も萎えてしまっている一角大雪兎の体にそんな気力は残っていなかった。横になったまま力なく彼女の方に顔を向けるのがやっとであった。
 兎は船酔いで苦しんでいるのよ。病気の兎にそんなことを言ってはいけないわ。ここに来て、ごめんなさいをしなさいよ、あんた。
「子供の癖に生意気な口を利くんじゃないわよ。私を誰だと思っているの。」
 この船の船員から「麗しの女神」とか「麗しの君」と傅かれているその猫は、余裕に満ちた表情で彼女に言い返した。余裕に満ちた猫の表情に苛立ちを憶え、ムジナも負けじと言い返した。
 私はホトトギスの父ちゃんの子供なのよ。私の言うことを聞きなさいよ、あんた。
「私は、あんたの父親であるホトトギスに『君しかいない。是非、ホトトギスマークの警備の責任者になってくれ』と懇願され、この船に乗り込んだのよ。あんたがホトトギスの娘だからどうだというのよ。私には関係のない話だわ。」
 彼女は、そう言うと、視線をムジナから逸らした。
 猫の癖に生意気よ。その減らず口を二度と利けないようにしてやるわ。
 ムジナはそう叫ぶと、優雅に船窓に座っている猫に飛びかかった。その瞬間、麗しの猫は、ピョンと船窓を飛び降り、優雅な足取りで寝台に横になっている一角大雪兎の所に歩き始めた。

包絡線 [ネコ騙し数学]

包絡線


αをパラメータとして含む曲線群

  

の各曲線と1点だけで接する曲線を包絡線という。

f(x,y,α)級とする。

曲線群と包絡線の接点を(x,y)とすると、xyαの関数である。

これを

  

とする。

(1)と(2)は接するのだから、

  

また、φ(α)ψ(α)f(x,y,α)=0上の点だから

  

これをαで微分すると、
  H-siki-01.png

ゆえに、包絡線は

  

の交点である。

逆に(4)の2つの方程式から

  

であるαの関数が存在するとする。

(4)より

  H-siki-02.png

(5)をαで微分すると、

  

(6)よりだから

  

したがって、でないならば接する。


少し補足説明する。


horaku-001.png例えば、

  

という曲線(群)があるとする。

αの値を一つに固定すると、たとえば、α=1とすると、①は中心(1,0)、半径1の円になる。

次にα=1/2とすると、中心(1/2,0)、半径1/2の円になる。

このようにαを変化させれば、中心(α,0)、半径|α|の曲線群を得ることができる。

図から明らかなように、この曲線群は、αの値にかかわらず、y軸、つまり、x=0に接する。

つまり、x=0が①の包絡線ということになる。



問題1 次の曲線群の包絡線を求めよ。

H-siki-03.png

【解】
(1) αで偏微分すると

  H-siki-04.png

で、

  H-siki-05.png

よって、包絡線は放物線y²=4x


(2)

  

①をαで偏微分すると、

  

①と②を2乗して足すと

  

よって、包絡線は原点を中心とする半径pの円。

hourakusen-002.png(3)

  

αで偏微分すると、

  

したがって、

  

x=−1は包絡線。

x=0は特異点の軌跡。

(解答終了)

  

とすると、
  H-siki-06.png

したがって、x=0y=αは特異点。

また、

  

よって、(x,y)=(0,α)において

  

(0,α)は結節点で接線は2本引ける。

 


問題2 次の包絡線を求めよ。

(1) 円x²+y²=r²y軸に平行な弦を直径とする円の曲線群

(2) 座標軸で切り取られる部分の長さが一定である曲線群

【解】

graph-500.png(1) 弦の両端をAB、その中点をCとし、C(α,0)とする。

三角ACOは直角三角形だから、ABを弦とする円の半径AC
  H-siki-07.png

よって、円の方程式は

  

αで偏微分すると、

  

これを①に代入すると、

  H-siki-08.png


(2) 直線の方程式を

  

とすると、条件より

  

①をαで偏微分すると、
  H-siki-09.png

②をαで微分すると

  H-siki-10.png

③に代入すると、

  H-siki-11.png

とおくと、

  

これを①に代入すると、

  

②に代入すると、

  

④を②乗したものと⑤の辺々を掛けると、
  H-siki-12.png

よって、アステロイドになる。

(解答終了)
タグ:微分積分

台形公式の精度を求める問題 [ネコ騙し数学]

台形公式の精度を求める問題


台形公式の精度を求めるいい問題があったので紹介します。


問題

a<bのとき

  

となるようにkの値を定め、関数F(x)

  

とする。

この関数について、ロールの定理を繰り返して使うことによって

  

となるようなξが存在することを示せ。

【解】

x=aのとき、

  

x=bのとき

  

F(a)=F(b)=0かつ、F(x)は、閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能。

よって、ロールの定理よりF'(c)=0となるa<c<bが存在する。

②を微分すると
  

よって、F'(a)=0

F'(a)=F'(c)=0かつ、F(x)[a,c]で連続、(a,b)で微分可能。

よって、ロールの定理より

  

となるξが存在する。

ξ<>aだから、

  

これを①に代入すると、
  

(解答終了)


s-graph-11.png[a,b]f(x)>0のとき、

  

は、曲線y=f(x)x軸、x=ax=bで囲まれた部分の面積であり、

  daikei-gosa-siki-03.png

は、右図の台形ABCDの面積である。

問題の結果より、

  

という関係があり、右辺はSTで近似したときの誤差を与える。
[a,b]

  

n等分とする、

n等分したのだから、

  

この区間に台形公式で近似すると、
  daike-gosa-siki-04.png

よって、

  

ここで、の最大値をMとすると、

  

これが台形公式の誤差限界である。

ちなみに、以前紹介した中点公式
  
の誤差限界は

  


(1)と(2)のMは等しくないので単純な比較はできないけれど、Mが同一であれば、中点公式は台形公式の誤差の1/2ということになる。

だから、一般論になるけれど、中点公式の方が台形公式より精度はよいということになる。

Daikei-gosa-01.png右のグラフは、

  

を台形公式を用いて計算し誤差と分割の幅hとの関係を示したもの。

このグラフだと少しわかりにくいと思うのだが、h=0.1からh=0.01へとh1/10になると、誤差は約その2乗である(1/10)²=1/100になる。


計算した生のデータのほうがわかりやすいと思うので、生データを以下に示す。


分割幅 h 誤差

0.100000 0.000416666171
0.010000
0.000004166667
0.001000
0.000000041667
0.000100
0.000000000417

この関数の場合、綺麗に1/100になっている。


Daikei-gosa-02.pngこれだとまだ直観的に理解しづらいかもしれないので、[0,1]の分割数nと誤差との関係についてのグラフを示す。
タグ:微分積分

がん新薬オプジーボ、血管肉腫でも効く可能性 京大分析 朝日 [ネムネコの呟き]





駱駝 1章のおわり [ラクダ]

「おい、猫。お前、何て言う名前なんだ。」
 あの猫は、とっても気位が高いのよ。そんな呼び方では、全然、相手にしてもらえないわ。
 ムジナは、一角大雪兎の右肩をぽんと叩いた後、父親から手渡された乾燥マタタビをリュックサックから取り出し、彼女の前にぽんと置いた。
 私のホンの気持ちよ。深い意味はないもないわ。もし良かったら、これで楽しんで頂戴。
 マタタビは猫の大好物である。虎でさえ、マタタビの魅力に抗うことはできない。それまで一角大雪兎やムジナのことを歯牙にもかけなかったその猫は、マタタビの匂いを嗅ぐと、態度を豹変させ、それに飛びついた。
 またたびを口にすると、その猫は、トローンとした、焦点の定まらない目になるかと思うと、仰向けにひっくり返った。何度も背中を床に擦り付けながら、視線をムジナと一角大雪兎に向けた。
「船の皆は、私のことを『麗しの女神』と呼んでいるわ。だから、私のことを『麗しの女神』か、あるいは、『麗しの君』と呼んで頂戴。」
 その猫は、スマートな体型をしており、しなやかで長い尻尾を有していた。顔もなかなかの美形で、人間の目には、かなりの美人猫に映る。船員は全て男であり、唯一の女性である美人猫を「麗しの女神」と呼び傅くのも分かるような気がした。
「『麗しの女神』とか『麗しの君』は、少し長い。他の呼び方はないのか。」
 マタタビに酔っ払い、しどけない格好で、お腹を天に向けて背中を床に擦り付けていたその猫は、彼のその言葉を耳にすると、切れ長の目を更に細くして、彼を横睨みした。
「私は猫なのよ。とっても偉いの。兎の分際で生意気な口を利くんじゃないわ。」
 人間以上の知能と知識を有し、人間の言葉を自在に操られる一角大雪兎であったが、やはり兎であった。彼女の涼しい、だが、無慈悲で残酷な視線を浴びると、本能的な恐怖心を感じ、思わずごくりと生唾を飲み込んでしまった。
 どれほどこのメス猫が優秀なハンターであろうと、高々家猫ではないか。俺は何でこいつに恐怖しているのだろう。馬鹿馬鹿しい。鼻持ちならないが、絶えずおだててやれば機嫌がいいまだろうし、少しプライドを刺激してやれば、意のままに操ることもできるにちがいない。今は取り敢えず機嫌を取って置くことにしよう。
 一角大雪兎は、そう考えて、お近付きの品をリュックから取り出し、彼女に差し出した。そして、彼女のご機嫌を取るために、弱点と言える喉の下を絶妙なタッチで撫で始めた。