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今日のアニソンは、マリアリと上海で『恋』です。



さらに、1月の「アリスこそ至上!!」のこの曲を。





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第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質 [ネコ騙し数学]

第8回 ベータ関数入門2 ベータ関数の重要な性質


まず、ベータ関数の定義を与える。


定義

p>0q>0に対して

  

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。


定理 ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。

(1) 任意のp>0q>0に対して

  

(2) 任意のp>0q>0に対して
  kougi-08-01.png

(3) 自然数mnに対して

  

【証明】

(1) t=1−xとおくと、x=0t=1x=1t=0に対応し、

  

だから、(1)を置換積分すると、

  kougi-08-02.png


(2) 1=x+(1−x)だから

  

である。

したがって、

  

0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると

  

また

  

だから、
  

したがって、

    

(3) (2)より

  

また、

  kougi-08-07.png

だから、

  

(証明終了)



nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。

  

上の定理の(3)にこの関係を適用すると、

  

この関係が自然数mnだけでなく、正の実数pqに対して

  

が成立するかどうかだ。

 


定理 p>0q>0に対して

  

である。

【証明】

  

したがって、
  

ここで、x=rcosθy=rsinθとおき極座標変換をすると、

  

となり、積分領域が

  

と変わるので、
  

【証明終了】



上記の定理中の

  

というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。

たとえば、

  

という定積分はベータ関数のp=4q=5の場合だから、
  

と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。

のみならず、ベータ関数を用いることにより

  

であることを簡単に証明できる。

m=1n=1のとき

  

この公式は、大学入試の重要公式である。


ベータ関数

  

に対して

  

として置換積分を適用すると、

  

0<a<1とし、p=aq=1−aとおくと
  

複素解析から右辺の広義積分は

  

したがって、

  


a=1/2を(4)に代入すると
  kougi-08-14.png


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わたしは、⑨という秘密の言葉はよく使っているけれど、ブログの中でスラングはほとんど使っていない。
しかし、歯に衣着せぬ毒舌家で、言葉の一つ一つに毒と刺が含まれている。
さてさて、ネムネコは正直者なのか、大嘘つきなのかどちらになるのでしょうね。