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熊本地震直前に上空電離圏で異常 京大、地震予測目指す 産経 [ネムネコ備忘録]



関数の連続の定義 [ネコ騙し数学]

関数の連続の定義


関数の連続の定義は、

定義Ⅰ関数f(x)の定義域Iに属する任意のaに対して

  

であるとき、関数f(x)x=aで連続であるという。

定義Ⅰは、高校で習い、それ以降も使い続けている連続の定義だからおなじみだと思う。


ε-δ論法ならば、次のようになる。


定義Ⅱ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

任意の正数ε>0に対して、

  

となる正数δ>0が存在するとき、関数fx=aで連続であるという。

定義Ⅱは、難解(?)で有名な、悪名高いε-δ論法を用いた関数の連続の定義で、高校時代に数学が得意中の得意であった学生の圧倒的大多数がここでドロップアウトしてしまう。そして、多数の(大学の)数学嫌いを排出してしまう(^^)

このためだろうか、解析学の名著(?)とされる高木貞治の『解析概論』は、基本的に、この悪名高いε-δ論法を採用しておらず、(1)と(2)の中間的な手法が使われているようだ。

この2つの定義の他に、収束する数列(点列)を用いた関数の連続の定義が存在する。


定義Ⅲ

fを区間Iで定義された関数、a∈Iとする。

aに収束するすべての点列に対して

  

であるとき、関数fx=aで連続であるという。

(大学の)微分積分、解析などの教科書のなかには、(2)の定義はあまりに難解(?)ということで、定義Ⅲを関数の連続として採用しているものもある。

定義Ⅱと定義Ⅲは同値の命題なので、どちらを関数の連続の定義として採用しても構わない。

【証明】

定義Ⅱ⇒定義Ⅲ

(2)から定まるδ>0をとると、関数fx=aで連続なので、任意の正数ε>0に対して

  

点列aに収束するので、任意の正数ε’>0に対して

  

となる正の整数Nが存在する。

ε'は任意の正数だからε'=δとおくと

  

となるNが存在し、①と②より

  


定義Ⅲ⇒定義Ⅱ

(2)を否定すると

あるε>0があって、任意のδ>0に対して、

  

となるxが存在する、である。

このとき、δ=1/nとすると

  

となるが存在する。

このようにして得られたを一つ選び、新たにというを作ると、この数列は

  

になるけれど、

  

である。

よって、証明された。

(証明終)

定義Ⅲ⇒定義Ⅱの証明では、対偶法を使っているのでわかりにくいと思うけれど・・・。


ちなみに、対偶法は、「p⇒q」という命題と「¬q⇒¬p」という命題が同値であることを利用して、「p⇒q」という命題を証明する代わりに「¬q⇒¬p」という命題を証明する証明法のことである。


ε-δ論法の代わりに、定義Ⅲでは数列の極限でε-δ論法の仲間であるε-N論法を使っているので、定義Ⅱ、定義Ⅲの分かりにくさは五十歩百歩で変わらないと思うのだが、定義Ⅲの方が学生への負担は少ないと言われているようだ。



問題

関数fRで連続とする。∀x,∀y∈Rに対して

  

であるとき、ff(x)=f(1)xで表されることを証明せよ。

【証明】

  

したがって、任意のxについて

  

また、

  

同様に

  

したがって、n≠0の整数nに対して

  

よって、すべてのmn以外のすべての整数に対して

  

x=m/nとおけば

  


ここで終わりにしてはいけない。

なぜならば、x=m/nの形で表される点、つまり、有理数の点でのみ、f(x)=f(1)xになることを示しただけで、無理数の点でもf(x)=f(1)xが成立することを証明していない。

それに、問題中にある実数Rの全域でfが連続という条件をまだ使っていない!!


ここで、今回、紹介した定義Ⅲが威力を発揮する!!

無理数xに収束する有理数の数列となるものを選ぶと、fが連続であることより

よって、無理数の点xに対しても

である。

よって、証明された。

(証明終)

ネムネコは、

定義Ⅲを用いたこの証明は、奥歯に物が挟まっているようで、大嫌いだ!!

N響が欧州ツアー 首席指揮者ヤルヴィ語る 日経 [今日のクラシック]





N響と演奏するというショスタコーヴィチの第10番交響曲の動画はYouTubeにないようなので、ヤルヴィ指揮によるショスタコーヴィチの第5番を。
オーケストラは、パリ管だにゃ。




パーヴォ・ヤルヴィ指揮のマーラーの交響曲第6番のフィナーレ。



ちょっと聞いただけだけど、お父さんのネーメ・ヤルヴィと比較すると、随分、見劣り、聴き劣りするようだにゃ。
お父さんのネーメが振ると、オケが良く鳴るにゃ。オケを鳴らすという点に関して、この指揮者の右に出るヒトはいないと言っていいんじゃないか。



お父さんの、この才能は引き継いでいないようだにゃ。

お父さんの指揮ならば聞きたいと思うけれど、息子の指揮は聞きたいと思わないにゃ。
息子の指揮を聞く時間的余裕は持ち合わせていないケロ!!


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オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理 [ネコ騙し数学]

オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理


§1 オイラーの連続方程式と運動方程式


流体の密度をρ、流体の速度場をvとし、空間内の任意の閉曲面Sとこの閉曲面で囲まれた領域Vについて考える。

また、速度ベクトルvx成分、y成分、z成分を、uvwとする。

この閉曲面から単位時間あたりに流出する流体の質量は、閉曲面の単位法線ベクトルをnとすれば

  

である。

これは、閉曲面で囲まれた質量の減少分

  

と等しいので、
  Euler-01.png

上式の左辺第1項については微分と積分の順序の交換が可能であると仮定すると

  

そして、左辺第2項にガウスの発散定理を用いると

  

となり、(1)式より
  Euler-02.png

となる。

任意の閉曲面で囲まれた領域で(1’)が成立するので

  

(2)式をデカルト直交座標で書き換えると
  Euler-03.png

となる。

この(2)、(3)式をオイラーの連続方程式連続の式という。この式の意味するところは質量保存の法則である。

特に、密度が一定の場合

  

である。

また

  

とおくと、(2)は

  

となる。

ρを空間の電荷密度jを電流密度ベクトルとすれば、そのまま、電磁気学の電荷の保存則になる。


次に、閉曲面Sに囲まれた領域の運動方程式を考える。

閉曲面の表面では圧力pのみが働き、この他に閉曲面Sで囲まれた領域に単位質量あたりにKという力が作用しているとすると、ニュートンの運動方程式は

  Euler-04.png

これが任意の閉曲面で囲まれた領域で成立するので、

  Euler-05.png

である。

というベクトル関数であるとすると、

  

となり、Kx成分、y成分、z成分をそれぞれXYZとすると、運動方程式は

  Euler-07.png  

となる。

(5)式をオイラーの運動方程式という。

(※) これはデカルト直交座標でしか成立しない、あくまで形式的な表現!!

そして、ここで使っているベクトル解析(?)は、いわゆるベクトル解析とされるものの範囲を逸脱しており、もう既にテンソルに片足を突っ込んでいる!!

また、このオイラーの運動方程式の導出には多大の胡散臭さがある。

これは数学の話ではなく、物理の話だから胡散臭いのはしょうがない、と諦めてもらうことにする(^^

 


§2 ベルヌーイの定理


  

とすると、オイラーの運動方程式(5)は、
  Euler-08.png

とあらわすことができる。

このままでは、(6)式はデカルト直交座標でしか成立しない。

そこで、

  Euler-09.png

と書き換えると、

  Euler-10.png

この(7)式は円柱座標や極座標などの曲線座標でも成立する。


渦なし場の場合

縮まない流体(密度ρが一定)であるとし、渦なし、つまり、rot v=0の場合を考える。

このとき、速度ポテンシャルが存在し

  

である。

これを(7)式に代入すると、

  

となり、Kにもポテンシャルが存在することになる。

そこで、

  

とすると、

  

となり、これを積分すると

  

となる。ここで、F(t)は任意の関数である。

これを拡張されたベルヌーイの定理という。



保存力場の定常な流れの場合

縮まない流体とする。

この場合

  

だから、運動方程式は

  

v×rot vvに直角だから、流線の方向の成分を取ると

  

ここで、sは流線に沿ってはかった距離である。

これを流線に沿って積分すると、

  

特に、外力として重力だけが働くとき、

  

だから

  

この(9)式をベルヌーイの定理という。

今日のクラシック、伊福部昭作曲 ピアノと管弦楽のための『リトミカ・オスティナータ』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、伊福部昭作曲 ピアノと管弦楽のための『リトミカ・オスティナータ』です。



リトミカ・オスティナータの「ritmico」は「リズミカルに、律動的に」、オスティナートは「音楽的なパターンを何度も繰り返すこと」。

このタイトルからも明らかなように、同じ、リズムやメロディーが何度も反復されている。
そして、伊福部の代表作といえる『ゴジラのテーマ』によく似たメロディー、パターンが現れたりしているようだにゃ。



5拍子、7拍子といった変拍子が使われているらしく、この拍子がめまぐるしく変化しているようだにゃ。
タイトルの「律動的」、リトミカは、ここから来ているのではないか。

変拍子が使われていますが、日本の伝統的音楽である雅楽や舞楽を彷彿させる、日本的な旋律が数多く使われていて、日本人には聴きやすい一曲だと思う。

伊福部昭音楽の原点ともいえるであろう、いかにも日本的な『日本狂詩曲』も紹介するにゃ。



この曲は、伊福部が21歳のときに作曲した曲。この曲を聞くと、もう既に伊福部音楽の特徴というべきオスティナートが使われているようだケロ。


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一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス(背理) [ネコ騙し数学]

一様流中に置かれた円柱まわりの流れとダランベールのパラドクス(背理)


d'Alembert-02.png複素速度ポテンシャルfが次の式

  

で与えられる流れの、|z=aのまわりの流れを考える。

z=aだから、これは原点を中心とする半径aの円で、この円周上の点は

  

とあらわすことができる。

したがって、この円周上における複素速度ポテンシャルは

  

であり、円周方向の速度は

  

になる。

半径aの円周上の流れ関数はΨ=0で一定だから、流線はこの円周と一致しており、円周方向の速度しか持っていない。


念のために、とおくと

  

これにr=aを代入すると

  

となり、同じ結果が得られた。

ここで、は、それぞれ、半径方向の速度、(反時計回りの)円周方向の速度である。


ここからは、流体力学の知識を借りる。

気体のように密度ρの小さい流体は位置エネルギーを無視することができるので、ベルヌーイの式は

 

となる。

ここで、pは半径aの円(柱)上の圧力、は無限遠点での圧力。

よって、

  


d'Alembert.png

円のx方向の圧力はpcosθだから、y方向の圧力はpsinθだから、この円にかかっているx方向、y方向の力、

  

となり、この円(柱)には力が働かない!!

つまり、速度が一様な流れの中に置かれた円柱の空気抵抗は0という、それはそれは”有り難い”結果が得られる。


これを、ダランベールの背理(パラドクス)という。

円柱だけではなく、球でも同じ結果が得られる。

流体力学が、まったく役立たずで、かつて、(「数)学者のお遊び」と呼ばれたのも道理だにゃ(^^)



第60回 複素数関数の2次元流れへの応用 [ネコ騙し数学]

第60回 複素数関数の2次元流れへの応用


平面上の点(x,y)における流体の速度ベクトル

  

とし、流体の密度をρ、時刻をtとすると
  fukuso-60-01.png

が成立する。

密度ρが一定のとき、連続の式は

  

となる。

さらに、流れが渦なしの条件

  

を満たすとき、前回示したように

  

である速度ポテンシャルφが存在する。

ここで、

  

とおき、

  

となる流れ関数Ψを導入すると、これはコーシー・リーマンの関係になるので、複素関数f(z)は正則で、微分可能であるなる。

つまり、

  

そして、このように定義された複素関数f(z)複素速度ポテンシャルという。

Ψ=一定の曲線の勾配(Ψ=一定の曲線の法線ベクトル)は

  

だから、速度ベクトルVとの内積を取ると
  fukuso-60-02.png

となり、Ψ=一定の曲線は速度ベクトルと平行である。

つまり、Ψ=一定の曲線は流線である。

例1 一様な流れ

複素速度ポテンシャルが

  

の場合、

  

だから、φ=UxΨ=Uyとなる。

また、

  

だから、u=Uv=0となり、x軸に平行な速度一定の流れということになる。

 


例2

複素速度ポテンシャルが

  

の場合は、

  

したがって、φ=x²−y²Ψ=2xy

そして、複素速度は

  

だから、速度のx成分u=2xy成分v=−2yとなる。

したがって、流線の方程式は

  fukuso-60-03.png

ということになる。

 ――流れ関数Ψ=2xy=一定の曲線と上で求めた流線の方程式は一致していることがわかる!!――

流線の接線は流れの速度の方向と同じなので、この流れはx軸とy軸を壁とする流れを表している。

 


例3

  

とおくと

  

また、
  

また、

  

だから、この流れは原点と点zを結ぶ(半)直線と平行で、流線は原点を通る放射線群である。

速度ベクトルの大きさは

  

だから、速さは原点からの距離に反比例する。

また、原点を中心とする半径Rの円Cに流れ込み、そして、流出してゆく量、湧出量Qは、

  

で、半径に関係なく一定である。

m>0のときは吹き出しm<0のときは吸い込みである。


fukuso-60-graph-01.png例4

  

とおくと

  

流線(流れ関数Ψ=一定)上の点をPとすれば、∠OPa=θ₁−θ₂=一定だから、流線は原点Oと点aを通る円弧となる。

また、等ポテンシャル線はr₁/r₂が一定だからアポロニウスの円である。

また、

  

だから、点aに強さmの吹き出し、原点に強さmの吸い込みがある場合と考えることもできる。

多項式による補間 [ネコ騙し数学]

多項式による補間


§1 補間


2つの点の間に位置する点、すなわち、におけるf(x)の値を求めることを補間するという。2つの点の外の点におけるf(x)の値を求めることを補外するという。


もちろん、例えば、f(x)=x²+3x+2のように関数が式の形で与えられ、しかも、この計算が簡単にできる場合、補間や補外をする必要はなく、f(x)=x²+3x+2を用いて計算すればよい。しかし、f(x)=sinxならば、電卓などを使わない場合、値が既知の点をもとにテーラー展開などをして値を求めざるを得ない。

また、複数の点、たとえば、の値は与えられているけれど、y=f(x)の関数が与えられていないことも多く、何らかの手段で既知でない点の値を求めざるを得ない。

このような時に、補間や補外といった手法が使われる。

補間や補外には、テーラー級数がよく用いられる。すなわち、

  

である。

と書くのは面倒なので、と書くことにすると、

  

これを2次の項、すなわち、で打ち切ると、

  

に前進差分を

  

を用いると、

  

になる。

ここで、

  

とおくと、(2)は

  

となる。

この(3)を1次補間公式という。


なにか難しいことを書いているように思うかもしれないが、(3)は、における値f(x)を2点を通る直線(線分)で近似したものに過ぎない。


(1)を3次の項で打ち切るときには、

  

として、これを(1)に代入すると、
  

という2次補間公式が得られる。


例1 3点(0,1)(1,−1),(2,3)があるとする。

  

とすると、
  

この結果を(1)に代入すると、

  

という補間曲線が得られる。

lagrange-graph-01.pngそして、これが2次補間によって得られる曲線である。


もちろん、

  

として、f(0)=1f(1)=−1f(2)=3としてえられる次の連立方程式を解いてもよい。

  

この連立方程式の解は(a,b,c)=(3,−5,1)となり、同じ結果が得られる。

 


§2 ラグランジュ補間


次のn次の多項式を考える。

  

この多項式は以外のすべての点

  

において0である。

そこで、

  

とおくと、多項式において1となり、それ以外の0になる。

つまり、

  

だから、

  

とおくと、このn次の多項式はn+1個の点

  

を通る多項式になる。


これがラグランジュ補間と呼ばれる方法である。


例2 3点(0,1)(1,−1),(2,3)があるとする。

  lagrange-04.png

だから、

  



lagrange-tab-01.png
上の表の値をもとに、ラグランジュ多項式によってf(6)を補間せよ。

【解】

  lagrange-06.png

よって、

  

(解答終了)

これが人間向きの計算法かと言えば大いに疑問であるが、単純な繰り返し計算を得意とするコンピュータにとっては都合のいい計算法である。


以下にこのサンプルプログラム(C言語)を示す。


#include <stdio.h>
#include <math.h>

double f(double x) {
return sin(x); // f(x)=sin x [−π,π]
}

// ラグランジュ補間
double lagrange(double *x, double *y, int n, double t) {
double p,s;
int i,j;

s=0;
for (i = 0; i <= n; i++) {
p = 1.;
for (j=0;j<=n; j++) {
if (i != j) {
p = p*(t-x[j])/(x[i]-x[j]);
}
}
s = s+y[i]*p;
}
return s;
}

main() {
double x[10]={0.0};
double y[10]={0.0};
double t,h;
int i;
int n = 9; //n次式
double a, b;

b = 4.*atan(1); // 区間[a,b]のbの値πをセット
a = -4.*atan(1); // 区間[a,b]のaの値−πをセット
h = (b-a)/n; // [a,b]をn等分した幅
for (i = 0; i <= n; i++) { // i=0〜nの点の値をセット
t = a+i*h;
x[i]= t;
y[i] = f(t);
}

// 計算結果の出力
printf(" x lagrange sin x \n");
for (i=0; i <=100; i++) {
t=a+i*(b-a)/100;
printf("%f %f %f\n",t, lagrange(x,y,n,t), f(t));
}
}


f(x)=sinx(−π≦x≦π)を5次のラグランジュ補間で近似計算した値を以下に示す。この場合、よく近似できていることがわかる。

lagrange-graph-02.png




誤解がないように言っておきますが、与えられた点をすべて通る多項式を求めただけで、ラグランジュ補間などの(等間隔の)多項式補間が元の曲線を忠実に反映しているというわけではない。


lagrange-graph-03.png例えば、

  

という曲線があるとする。

これを[−1,1]で等間隔に5分割(点の数は6)、9分割(点の数は10)し、その値をもとに5次補間、9次補間すると右のような曲線が得られる。


点が多く、高次で補間するほうがよりもとの曲線を反映するように考えられるが、この関数の場合、高次にすればするほど、端点であるx=±1の近傍でもとの曲線との乖離が大きくなる現象、ルンゲ現象が発生する。


直線で結んだほうがこの曲線の挙動を正確に反映している。


ここで言いたいのは、データがn+1個あるからn次の多項式で近似するということは非常に危険な行為だということです。


n次のラグランジュ多項式で結べば確かにのすべての点を通る曲線を得られるけれど、時に、このルンゲ現象のようなことが発生することがある。


また、この曲線の極値はx=0のところにのみあるにもかかわらず、5次補間では極値をとる点がが3、9次補間では極値をとる点が7になるなどの問題も発生する。


だから、物理や化学などの実験で得られたデータなどのグラフは、絶対に高次のラグランジュ補間で結んではいけない。

実験データを高次のラグランジュ補間で結んだグラフを書き、それをレポートなどにのせて提出すると、必ず、実験担当の先生や指導教官からこっぴどく叱られる。「このデータを曲線で結んだ理論的根拠は何だ。説明しろ!!」と問い詰められるのが落ちである。



タグ:数値解析

今日のアニソン、「姫さまっ、お手やわらかに!」から『プリンセス・フィナーレ』 [今日のアニソン・アーカイブ]

今日のアニソン、ゲーム「姫さまっ、お手やわらかに!」から『プリンセス・フィナーレ』です。




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第59回 2次元のベクトル場 [ネコ騙し数学]

第59回 2次元のベクトル場


成分(u,v)のベクトル関数Aが平面上の各点(x,y)に対応しているとする。

また、平面上の基本単位ベクトルをij、この平面に垂直な基本単位ベクトルをkとする。

このとき、ベクトル場Aから次のスカラー場とベクトル場が定義される。

  fukuso-59-01.png

さらに、スカラー場φが与えられているとき、次のベクトル場が定義される。

  


問1 の発散と勾配を求めよ。

【解】

ベクトル関数Ax成分、y成分をそれぞれuvとすると、

  

だから、

  

(解答終了)

 


問2 次の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成立すことを示せ。

  

(2) φ=x²+2xy+y²とするとき(1)の等式が成り立つことを確かめよ。

【解】

(1)

  


(2)

  

(解答終了)


(x,y)の位置ベクトルをrであらわせば、平面上の曲線はパラメータtのベクトル関数r=r(t)で、その接線ベクトルは微分drで表される。すなわち

  

である。

かりに、ベクトル場内の、ある曲線上の任意の点における接線がベクトル場Aに平行であるとする。

このとき、

  

が成立する。そして、⑤式によってその曲線が与えられる。

おそらく、何を書いてあるかわからないと思うので、ベクトル解析の故郷というべき流体力学を例に説明することにする。


ぱっと一本、曲線を引く。この曲線上のすべての点における接線(の方向ベクトル)が、運よく、たまたま、曲線上のすべての点で、その点における風向き、流れの向きと平行であるとき、この曲線を流線という。

流れの速度ベクトルの成分を(u,v)とすると、この曲線、流線の方程式は

  

電磁気学の電場だとこの曲線は電気力線である。

fukuso-59-fig-01.png
恒等的にrot A=0が成立するベクトル場A非回転渦なしという。

すなわち、

  

このとき、ベクトル場AA=grad φとなるφをもつ。

何故ならば、閉曲線Cで囲まれた領域をDとすると、グリーンの定理(ストークスの定理)より

  

そして、曲線Cを右図のように分解すると
  

fukuso-59-fig-02.pngとなり、点(x₀,y₀)と点(x,y)の線積分

  

の値は道筋によらない。

そこで、

  

と定義すると、

  

となるからである。

A=grad φであるとき、φAのポテンシャルという。φ=c(一定)の曲線を等ポテンシャル線(3次元ならば等ポテンシャル面、曲線)という。等ポテンシャル線φ=cをパラメータt

  

であらわせば、これをtで微分すると
  
である。したがって、φの勾配grad φと等ポテンシャル線φ=cとは直交する。

何故ならば、

  

だから。

また、div A=0となるベクトル場を管状場という。

管状場でかつ渦なし場のとき、

  

したがって、φ調和関数である。