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ネムネコ、地球をぶん投げる!! 「ねこ騙し数学」の記事をご紹介 [ネコ騙し数学]

数学関係の記事としては珍しく大人気なので、ネムネコの数学専門ブログである「ねこ騙し数学」のこの記事をご紹介!!


ネムネコ、地球をぶん投げる!!


思うところがあり、惑星の軌道計算をしてみた。

これがその計算結果。


earth0.png


この計算結果を見て、「ただの円じゃないか」と文句をつけるに違いない。

その確信があるにゃ。

しかしだね、これは次の連立微分方程式

  

を数値的に計算した計算結果。

ニュートンの万有引力と運動方程式をもとに、4次のルンゲ=クッタ法を用いて計算したものなんだケロよ。
舐めてもらっては困るにゃ。


計算の条件は、μ=1とし、初期条件として、(x,y)=(0,1)x方向の速度u=−1y方向の速度v=0としてシミュレーションしたもの。

この条件では、遠心力と重力が釣り合っているので、図のように綺麗な円を描く。

しかし、水平方向にu=−1.4にすると、楕円機動をえがく。


earth-01.png

そして、u=−1.5にすると、太陽系から脱出してしまう。2度と戻ってくることはない。

earth3.png


理論通りだにゃ。u²+v²>2を越すと、太陽の引力を振り切り太陽系を脱出できることまで正確に再現している。


この問題を解くだけための特化したプログラムで汎用性はないのだけれど、バタバタバタとプログラムを作り解かせてみたにゃ。


最初、「この程度の問題ならば、2次のルンゲ=クッタ法で十分解けるだろう」と考えて2次精度のルンゲ=クッタ法で最初のu=−1で計算してみたのだけれど、少しずつ運動エネルギーを失い、太陽へと徐々に落ちてゆくんだケロ(^^

これではいけないということで、これを4次精度のルンゲ=クッタ法に急遽変更。

earth-04.png

上の図は円に見えるかもしれないけれど、回転するたびに微妙に円軌道からずれていて、そのため、線が太くなっている。


計算に使用したプログラムを含めて、近日、公開するにゃ。

乞う、ご期待だにゃ。





参考までに、x=0,y=1の地点からu=−cos45°v=sin45°の速度で地球をぶん投げたときの軌道を以下に示す。


earth5.png

比較対象のために、円軌道もあわせて描かせている。

地球をぶん投げる速さで同じでも、投げ出す角度が水平――正確に言うと、半径に対して直角――じゃないと、このときは楕円軌道を描くんだケロよ。





こんな解法を思いつくものか!! [ネコ騙し数学]

こんな解法を思いつくものか!!


問題 AB=2ACかつBC=30(cm)である。△ABCの面積の最大値を求めよ。

sankaku-menseki-saidai-02.png【解】

ABAC=2:1であるから、∠Aとその外角の2等分線が辺BCまたはその延長と交わる点をそれぞれDEとする。

 DEDCEBEC=2:1

またBC=30(cm)より、

 ED=20(cm)

 BE=60(cm)

 DE=40(cm)

DAE=∠Rであるから、Aは直径DEの円周上にあり、BCに垂直なこの半径をA₁とすれば、AA₁にあるとき、△ABCの面積は最大で、最大値は300(cm²)である。

(解答終)

何とも鮮やかな解答。

日常的に初等幾何学に接している人、あるいは、初等幾何を得意とする人ならばこうした解答を思ういつく人もいるのかもしれないけれど、
しかし、
こんな解法をそうそう思いつくものか!!

ということで、別な方法で解いてみる。


【別解】

menseki-saidai-prob01.pngAC=xとすると、問題の条件AB=2ACよりAB=2x

三角不等式より

  

面積をS、∠BACθとおくと、

  

余弦定理より

  

S>0だから、Sが最大⇔が最大となるので、

  

したがって、x²=500、つまり、x=√50010<√500<30)のとき、最大となり、最大値は90000。

よって、Sx=√500のとき最大で、最大値は300である。

(別解終了)
sankaku-menseki-saidai-01.png

  


となるので、これを微分して極値を求めてもいいけれど、これは少し計算が面倒なので、直接Sの最大値を求めよりはの最大値を求めたほうが計算はずっと楽でしょう。


ちなみに、Sのグラフは右の図になる。


タグ:初等幾何

指揮者のスタニスラフ・スクロバチェフスキさん死去 朝日 [今日のクラシック]




スクロバチェフスキはブルックナーの指揮の評価が高かったそうなので、ブルックナーの白鳥の歌と言えるこの名曲を。



少し聞いただけなのでハッキリしたことは言えませんが、なかなかの好演じゃない。ただ、ブルックナーの演奏、指揮で期待される宇宙的な広がり、宇宙の鳴動とでも言うべきものは感じられず、小ぢんまりとまとまっていてスケール感は無いようですが・・・。
特に野蛮でデモニッシュですらある2楽章のスケルツォは迫力不足の感がする。軽すぎるにゃ。もっと拍を明確に刻んで欲しいにゃ、残酷に、無慈悲なまでに刻んで欲しいケロ。

しかし、真摯な音作り、そして、自然体の指揮には好感がもたれる。だから、この指揮者は虚飾や虚仮威しの解釈が通用しないブルックナーにあっているのでしょう。
楽器間の(音の)バランスを重視した指揮者のようで、このため、普段聞き漏らすような音が聞こえてきて、「おろっ」と驚いたりするところもあるようだ。

金管がかしがましく、ただ無意味に刺激的に鳴り響くだけのヴァントや、間延びし弛緩しっぱなしの朝比奈のブルックナーを聞くよりは、コッチのほうが100倍マシなんじゃないか。

タグ:クラシック
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複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める [ネコ騙し数学]

複素数を用いて極座標における速度、加速度を求める


平面上を移動する動点Pの時刻tにおける位置ベクトルをrとすると、速度ベクトルv、加速度ベクトルaは次式で与えられる。

  

平面の基本ベクトルを、また、時刻tにおける点Pの座標を(x,y)とすれば、

  

となるので、
  fukuso-vector-01.png

である。

速度ベクトルと加速度ベクトルを

  

とあらわせば、
  fukuso-vector-02.png

から、




複素数zは、その実部をx、虚部をy、さらに虚数単位をii²=1)とすると、z=x+yiで表される。

そして、横軸に実軸、縦軸に虚軸をとると、複素数z=x+yiは右の図で示される。

右図を見ると、複素数が平面ベクトルと同等のものであることがわかると思う。


この手法を用いれば、

  

と速度ベクトル、加速度ベクトルを簡潔に表現できる。

fukuso-vector.png右図に示すように、原点Oと点zと結ぶ線分と実軸のなす角度(反時計回りを角度の正の向きとする)θ、原点Oと点zとの線分の長さを

  

で定義することにする。

そうすると、zの実軸の成分x、虚軸の成分y

  

となる。

つまり、

  

となる(極形式)。

これをオイラーの関係

  

で書き換えると、

  

となる。
  

これをtで微分すると、

  

ここで、記号「・」はtによる微分

  

をあらわす。

は大きさが1でと方向が同じベクトルと考えることができる。


また、

  

ベクトル(cosθ,sinθ)とベクトル(−sinθ,cosθ)の内積を取ると

  

となり、は直交している。

そして、その大きさは

  

で1。

も大きさが1だから、互いに直交する単位ベクトルを元にした座標系を作ることができる。

この新たな座標は何かといえば、対応規則からあきらかなように、極座標!!

fukuso-vector-fig-02.png


そこで、

  

をもう一度見なおすと、速度ベクトルvの基本ベクトル方向の成分、基本ベクトル方向の成分ということになる。

そして、速度ベクトルvをさらに微分すると、
  

となることから、

  


以上のことをまとめると、

極座標における速度、加速度のr方向、θ方向の成分は

  



ここでは、が直交していることを内積を使って示したが、

  

だから、を90°π/2(rad)回転させたものであることはあきらか。


タグ:複素解析

あの積分に立ち返る [ネコ騙し数学]

あの積分に立ち返る


再び、次の積分に戻る。

  


何も考えずに、不定積分の公式に使えば

  


このような答案を試験の際に書くと、大学の先生は、決まって、「広義積分を理解していない」、「公式の濫用だ」と声高に叫ぶ。


そこで、ならばと、複素関数の積分の知識を使って次のように解いてみることにする。


実数で定義される1/xという関数を、次のように、複素数に拡張する。

  

Zは複素数(全体の集合)で、Z−{0}は、複素数から0だけを取り除いたもの。

そうすると、f(z)0以外の複素平面上の全ての点で正則になる。


そこで、積分の経路を下図のように複素平面上にとることにする。


fukuso-anosekibun-01.png

円弧ABCは半径1の円弧、円弧DEFは半径ε>0の円弧。

そうすると、円弧ABCと線分CD、円弧DEF、線分EAで囲まれた曲線の内部でf(z)は正則だから、この積分路にそった積分の値は0になる。つまり、

  

積分

  

は実軸に沿っての積分だから

  

になる。

ところで、円弧ABCは半径1の円の半円だから

  

とおくと、

  

円弧DEFは半径ε>0の半円だから

  

とおくと

  

したがって、(1)の積分は

  

となる。

つまり、

  


大学の先生が声高に「公式の濫用」と叫ぶ公式⑨がよみがえる(^^


これまで、複素積分の定積分の応用でやってきたタイプⅡ、タイプⅢ、ジョルダンの補助定理、さらに、

  

といった積分の値を求めるとき、大学の数学の先生は、自身、⑨の公式と同じ手法をを使っておきながら、⑨の公式だけを声高に非難する(^^

この手法が胡散臭い(?)ことを知っていながら、確信犯的に⑨の公式(と同じ手法)を使って講義を受けている学生達を幻惑することが多いのだから、なお、質(たち)は悪くて、その罪は重い。万死に値すると言ってもいい(^^ゞ


⑨の能力を過信しすぎだケロ。⑨にそんなことがわかるはずがないにゃ。⑨の能力を舐めてはいけないにゃ。ないことをあることに、あることをないことにし、禁則、タブーを平気で犯すのが⑨であり、その上をゆく⑨³なのだから。





高木貞治の『解析概論』(岩波書店)には次のように書いてある。

 

εε’は独立である。

たとえば、[−1,1]内でx=0において1/xは不連続で

  

ここでε=ε’とすれば

  


となるけれど、

  

0であることを意味しない。

それは

  

であるべきだが、この極限は存在しない。故には無意味である。それは収束しない(発散する)。

上記においてが存在しなくても、もしも独立変数εε’の間に特別の関係を付けるならば上の例のように極限値が存在することもある。特にεε’とするときの極限値をCauchy主値value principle)と名づけた。Cauchyは虚数積分の考察(解析函数論の前身)において、そのような極限値に遭遇したのであった。現今でも、文献において、積分の主値なる語が上記の意味で、かりおり、用いられる。

(註:一部編集)

(3)の極限が存在しないことは、たとえば、ε=2ε’とすれば、(3)の値はlog2となり、log1、つまり、0とは違った値になる。εε’0への近づき方によって極限値が異なってしまい、極限値が1つの値に定まらないことから明らか。


第2回 三角形の合同条件 [ネコ騙し数学]

第2回 三角形の合同条件


小中学校で、次の3つの三角形の合同条件を習ったと思う。

今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。

定理6 三角形の合同条件

(1) 2辺と挟角相等

(2) 1辺と両端の角相等

(3) 3辺相等

【証明】

02-fig-00.png(1) △ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’AC=A’C’、∠A=∠A’とする。

A'B'C'を移動させ、AA’が一致するように、半直線ABA'B’を重ねる。

AB=A'B'だから、BB'は重なる。

また、∠A=∠A’だから、半直線ACA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CC’は重なる。

2点BB')とCC')を通る直線は1本なので、BCB'C'は重なる。

よって、

△ABC≡△A’B'C'

02-fig-03.png(2) △ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。

BC=B’C’であるから、△A’B’C’を移動してB’BC’Cに重ねると、辺B’C’と辺BCに重なる。

B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’BAが重なり、C’A’CAに重なる。

2直線の共有点は1だけだから、A’Aは重なる。

よって、△ABC≡△A’B’C’である。

(証明終わり)

(3)のの証明のために次の定理を証明する。


定理7 二等辺三角形の底角は等しい。

02-fig-01.png【証明】

ABCを裏返して、ABCA’B’C’になったとする。

図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’において

AB=AC=AC’

AC=AB=A’B’

BAC=∠C’A’B’

よって、△ABC≡△A’C’B’ (二辺挟角相等)

∴ ∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB

(証明終わり)

そして、この定理7を用いて、定理6の(3)を証明することにする。


02-fig-02.png定理6の(3)の証明

BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’BC'Cとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。

そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。

BDABD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD

また、△CADCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD=∠CDA

よって、∠BAD=∠BDA

定理6の(1)の2辺挟角相等より、△ABC≡△DBC

∴ △ABC≡△A'B'C'

(証明終)


02-fig-04.png問題 「ABA'B'AC=AC'、∠ABC=∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。

【解】

反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。

つまり、正しくない。

(解答終)
タグ:初等幾何

ネムネコ、Bloggerにアニメーション付きの幾何の問題をアップ!! [ネコ騙し数学]

ネムネコ、Bloggerにアニメーション付きの幾何の問題をアップ!!

幾何の問題(アニメーション付き)
http://nemneko.blogspot.jp/2017/02/blog-post_31.html


次のような問題。

問題
定まった二等辺三角形ABCの底辺BC上の1点をPとし、等辺AB、AC上にそれぞれ点Q、Rをとり、BQ=CP、CR=BPとなるようにすれば、△PQRは底辺BC上の点Pの位置にかかわらず、頂角の大きさが一定な二等辺三角形になることを証明せよ。

kika-problem-001.png


簡単な問題だから秒殺ものでしょう。
見た瞬間に答えがわかる人は、点Pが点Bを出発し点Cに向かうとき、線分QRの中点Mの軌跡などを求めて欲しいにゃ。

きっと秒殺できる問題だから、解答なんて野暮なものは不要でしょ(^^)

アニメーションを見たい人は、上記アドレスにアクセスして欲しいケロ。
このアニメーションを見れば、一定の頂角が何になるかは一目瞭然だケロ。

解きやすいスペシャル・ケースから一定値を推測するということは重要なことだと思うにゃ。
この問題の場合、PがBやC重なるとき、さらに、Pが線分BCの中点に達した時など。一定の頂角を教えたようなものだね(^^)




タグ:初等幾何

第58回 留数定理の定積分への応用 問題編3 [ネコ騙し数学]

第58回 留数定理の定積分への応用 問題編3


タイプⅢ 

f(z)は複素平面の上半平面Imz≧0で有限個の極を除いて正則であり、またはとする。

このとき、

  fukuso-58-01.png

f(x)が偶関数のとき

  fukuso-58-02.png

f(x)が奇関数のとき

  fukuso-58-03.png

問題1 次の定積分を求めよ。

  

【解】

  

とおくと、f(z)は偶関数、

  

で、上半平面にもつ極は1位の極z=iaのみ。

留数を求めると、

  

したがって、(2)より

  

(解答終了)

この問題は、上の公式を使わずとも、次のように計算することができる。


【別解】

fukuso-58-graph-01.png  

とおく。

  

だから
  

だから、

  

右の図の積分路に沿って積分をすると、積分経路内にある極はz=iaだから、留数は

  

したがって留数定理より

  

また

  
だから、

  fukuso-58-07.png

(別解終)


問題2 a>0b>0のとき、次の定積分の値を求めよ。

  


【解】

(1)

  

とおくと、f(z)は奇関数で、上半平面に1位の極z=iaをもつ。

また、

  

留数を求めると、

  

したがって、(3)より

  


(2)

  

とおくと、これは奇関数。

また上半平面に2位の極z=iaをもち

  

したがって、留数は
  fukuso-58-05.png

(3)式より

  

(解答終了)


  
タグ:複素解析

今日のクラシック、ヴィトルト・ルトスワフスキ作曲『交響曲第3番』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、ヴィトルト・ルトスワフスキ(1913〜1994年)作曲『交響曲第3番』です。



ヴィトルト・ルトスワフスキは20世紀のポーランドを代表する現代音楽の作曲家の一人。
そして、この曲はこの作曲家を代表する曲の一つ。

ですが、先鋭的で「いかにも現代音楽、現代音楽している」曲ではなく、現代音楽の中では、古典的・伝統的な特徴を強く持つ一曲。
一応、無調の12音技法の曲のようですが、そこはかとなく調性感を感じられて、安心して、落ち着いて聞ける曲だと思うにゃ。
ウィキペディアの記事に書いてある通り、メロディーを重視していた作曲家のようで、現代音楽としては珍しく、非常にメロディアスな曲でもある。

https://goo.gl/tfQU3H

この動画を見た、聞いたあと、ルトスワフスキの交響曲第4番が自動再生されたのだけれど、私の耳には3番のほうが馴染みがよく聞こえ、音楽的にも充実している思えた。



もっとも、私が聞いた第3番の演奏が作曲者であるルトスワフスキ指揮ベルリン・フィルなのに対して、かたやフランス放送フィルハーモニーで、オーケストラの実力、演奏能力があまりに違いすぎるので、この演奏を聞いた印象だけを頼りに両者を比較するのはあまりに危険なのでしょうが・・・。

と、
いかにも、この作曲家、そして、これらの曲を以前から知っているかのように書いていますが、実は、つい今しがた、この作曲家の曲を聞いたばかり(^^ゞ
そりゃ〜、高名な作曲家だから名前くらいは知っていたけれど、曲は聞いたことがなかった。ひょっとしたら、過去にNHK-FMなどで聞いたことがあるかもしれないけれど、聞いた記憶がない、記憶にまったく残っていない。

クラシック音楽の専門家、現代音楽の作曲家、演奏家ならば、その存在、曲を知っているかもしれないけれど、
ただでも演奏機会が少なくて一般からの人気がない「クラシックの現代音楽」の、しかもネムネコとは縁も所縁(ゆかり)もないポーランドの作曲家だケロよ、素人のネムネコがルトスワフスキの曲を一曲も知らなくて当たり前だにゃ。

「繰り返して何度も聞きたいか、日常的に聞きたいか」と尋ねられれば思わず考えこんでしまうけれど、第3番が現代の名曲であることは疑う余地はないと思うし、いい曲だと思う。

ところで、ウィキペディアの記事に「ad-lib動率」という聞いたことも見たことない言葉を見つけ、これが使われている交響曲第2番も少し聞いてみた。
そして、冒頭部を聞いて、頭が混乱してしまった。本当に頭がパニックを起こしてしまい、気分が悪くなってしまったケロよ。
規則性や秩序を見いだせずに、ネムネコの理系脳が聞くことを断固拒否するんだにゃ。「こんな曲は聞きたくない」と、ネムネコの脳味噌が強い拒絶反応を起こすんだにゃ。
だから、
前衛的という観点からは第2番のほうが前衛的なのだろうけれど、この曲↓は素人が聞く曲じゃないと思うケロよ。






それでも徐々に頭が慣れてきて何とか聞き通すことができたけれど、多大な忍耐力を要したにゃ。

最後に、
「また、ネムネコがどこからか変な曲を見つけてきた」と言わずに、第3番だけでもいいから、最後まで聞いてほしいと思うにゃ。

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ねこ騙し流「アキレスと亀」 [ネコ騙し数学]

ねこ騙し流「アキレスと亀」


アキレスと亀という有名な話がある。


足の速いアキレスと足の遅い亀が走り競争することになった。

同一地点から同時に出発したならば勝負の結果は、誰の目にもあきらかだ。そこで亀はハンディキャップをもらう。

そして、ヨーイドン!!

亀がいた地点にアキレスが達したとき、亀は前を行っている。そして、その地点にアキレスが達したとき、亀はさらにその先を進んでいる。その地点にアキレスが達したとき、亀はまだ前にいる。・・・。


したがって、アキレスはいつまで経っても(?)亀に追いつけないというお話。


ゼノンのパラドクスとも呼ばれるお話。


この反論として、次のようなものをあげることができる。


亀のハンディキャップをH、アキレスの走る速さをV(m/)、亀の走るv(m/)とする。仮定よりV>m

出発後に、アキレスが亀に追いつく時間をT秒とすると、次のような方程式が成り立つ。

  

これを解くと

  

となり有限の時間Tで追いつくことができる。

あ〜、なるほどと思ってはいけない。

与えられている条件は、

 1 亀がハンディキャップをもらうということ

 2 アキレスの走る速さは亀のそれより速い

という2点だけだからだ。

アキレスの走る速さと亀の走る速さが一定という条件はどこにも加わっていない。

にもかかわらず、この仮定を勝手に加えているのだから。


そこでだ、アキレスの走る速さは一定Vで、亀の走る速さvを次のようにするにゃ。

  


tはヨーイドンからの時間(秒)とする。記号max(a,b)abの小さくない方の値。

このとき、t>0で常に

  

となり、アキレスは亀より速くて、問題の条件を満たしている。

そして、t秒後のアキレスの位置Xは、スタート地点を0とすると

  

亀の位置xは、
の場合

  

の場合は

  


となり、どちらの場合も、亀がアキレスに抜かれることはない。
亀の走る速さは限りなくアキレスの走る速さに近づくけれど、アキレスの速さよりは遅い。
そして、アキレスと亀の距離は限りなく0に近づくけれど、アキレスが亀に追い付き、追い越すことは起きない。


ただ、この記事を読んで、「ゼノンの主張が正しい」と誤解しないで欲しい。
ここで言いたのは、条件次第でゼノンの主張を否定することも肯定することもできるということだ。
問題が曖昧すぎて、これだけでは真偽が定まらないということだケロよ。

タグ:微分積分