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オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理 [ネコ騙し数学]

オイラーの連続の方程式、運動方程式、そして、ベルヌーイの定理


§1 オイラーの連続方程式と運動方程式


流体の密度をρ、流体の速度場をvとし、空間内の任意の閉曲面Sとこの閉曲面で囲まれた領域Vについて考える。

また、速度ベクトルvx成分、y成分、z成分を、uvwとする。

この閉曲面から単位時間あたりに流出する流体の質量は、閉曲面の単位法線ベクトルをnとすれば

  

である。

これは、閉曲面で囲まれた質量の減少分

  

と等しいので、
  Euler-01.png

上式の左辺第1項については微分と積分の順序の交換が可能であると仮定すると

  

そして、左辺第2項にガウスの発散定理を用いると

  

となり、(1)式より
  Euler-02.png

となる。

任意の閉曲面で囲まれた領域で(1’)が成立するので

  

(2)式をデカルト直交座標で書き換えると
  Euler-03.png

となる。

この(2)、(3)式をオイラーの連続方程式連続の式という。この式の意味するところは質量保存の法則である。

特に、密度が一定の場合

  

である。

また

  

とおくと、(2)は

  

となる。

ρを空間の電荷密度jを電流密度ベクトルとすれば、そのまま、電磁気学の電荷の保存則になる。


次に、閉曲面Sに囲まれた領域の運動方程式を考える。

閉曲面の表面では圧力pのみが働き、この他に閉曲面Sで囲まれた領域に単位質量あたりにKという力が作用しているとすると、ニュートンの運動方程式は

  Euler-04.png

これが任意の閉曲面で囲まれた領域で成立するので、

  Euler-05.png

である。

というベクトル関数であるとすると、

  

となり、Kx成分、y成分、z成分をそれぞれXYZとすると、運動方程式は

  Euler-07.png  

となる。

(5)式をオイラーの運動方程式という。

(※) これはデカルト直交座標でしか成立しない、あくまで形式的な表現!!

そして、ここで使っているベクトル解析(?)は、いわゆるベクトル解析とされるものの範囲を逸脱しており、もう既にテンソルに片足を突っ込んでいる!!

また、このオイラーの運動方程式の導出には多大の胡散臭さがある。

これは数学の話ではなく、物理の話だから胡散臭いのはしょうがない、と諦めてもらうことにする(^^

 


§2 ベルヌーイの定理


  

とすると、オイラーの運動方程式(5)は、
  Euler-08.png

とあらわすことができる。

このままでは、(6)式はデカルト直交座標でしか成立しない。

そこで、

  Euler-09.png

と書き換えると、

  Euler-10.png

この(7)式は円柱座標や極座標などの曲線座標でも成立する。


渦なし場の場合

縮まない流体(密度ρが一定)であるとし、渦なし、つまり、rot v=0の場合を考える。

このとき、速度ポテンシャルが存在し

  

である。

これを(7)式に代入すると、

  

となり、Kにもポテンシャルが存在することになる。

そこで、

  

とすると、

  

となり、これを積分すると

  

となる。ここで、F(t)は任意の関数である。

これを拡張されたベルヌーイの定理という。



保存力場の定常な流れの場合

縮まない流体とする。

この場合

  

だから、運動方程式は

  

v×rot vvに直角だから、流線の方向の成分を取ると

  

ここで、sは流線に沿ってはかった距離である。

これを流線に沿って積分すると、

  

特に、外力として重力だけが働くとき、

  

だから

  

この(9)式をベルヌーイの定理という。

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じゃあ、このネコは♪



さらに、このネコの動画を。




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今日のクラシック、伊福部昭作曲 ピアノと管弦楽のための『リトミカ・オスティナータ』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、伊福部昭作曲 ピアノと管弦楽のための『リトミカ・オスティナータ』です。



リトミカ・オスティナータの「ritmico」は「リズミカルに、律動的に」、オスティナートは「音楽的なパターンを何度も繰り返すこと」。

このタイトルからも明らかなように、同じ、リズムやメロディーが何度も反復されている。
そして、伊福部の代表作といえる『ゴジラのテーマ』によく似たメロディー、パターンが現れたりしているようだにゃ。



5拍子、7拍子といった変拍子が使われているらしく、この拍子がめまぐるしく変化しているようだにゃ。
タイトルの「律動的」、リトミカは、ここから来ているのではないか。

変拍子が使われていますが、日本の伝統的音楽である雅楽や舞楽を彷彿させる、日本的な旋律が数多く使われていて、日本人には聴きやすい一曲だと思う。

伊福部昭音楽の原点ともいえるであろう、いかにも日本的な『日本狂詩曲』も紹介するにゃ。



この曲は、伊福部が21歳のときに作曲した曲。この曲を聞くと、もう既に伊福部音楽の特徴というべきオスティナートが使われているようだケロ。


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