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第12回 ラプラス変換入門1 [ネコ騙し数学]

第12回 ラプラス変換入門1



ラプラス変換の定義

f(t)[0,∞)で不定積分を持つとする。

広義積分

  

が存在する実数sに対して

  

とおくとき、このF(s)ラプラス変換といい、記号でであらわす。

また、であるとき、F(s)からf(x)への対応をラプラス逆変換といい、

  

であらわす。

このとき、f(t)原関数F(s)像関数という。



問1 次の関数をラプラス変換せよ。

  

【解】

(1)

  



(2)

  

したがって、
  




(3)

  

(解答終了)

上記の記号

  

のことで、例えば、(1)の場合、

  

である。

問2 次の等式が成り立つことを示せ。

  

【解】

st=xとおくと、t=0のときx=0t→∞のときx∞、そして、dt=dx/sだから、

  

また、α=nのとき、

  

だから、

  

(解答終了)


代表的な関数のラプラス変換は、ラプラス変換表という表になっており、実際は計算する必要がなく、ラプラス変換表を見ればよい。


代表的な関数のラプラス変換を以下に示す。


定理(ラプラス変換の線形性)

[0,∞)で連続な関数f(x)g(x)s>αでラプラス変換可能であるとする。このとき、abを実数とすれば、s>αに対して

  

である。

【証明】

  

(証明終了)