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「たしかに愛(i)はあるにゃ、途中で出てくるにゃ」 [ネコ騙し数学]

「ねむねこ幻想郷」の皆さんにお尋ねしますが、
次の積分の値を求められますか?
 ――できるとは思っていない(^^ゞ――


問題 次の積分の値を求めよ。
  


この(定)積分の値が存在することは、閉区間[0,2π]

  

が連続であることより疑いようがない。

したがって、

  

は、「たしかに」あるにゃ。





「確かに愛(i、i²=−1)はある」にゃ。

数学の公式集や、運良く持っている数学の本にこの一般形の公式が出ているかもしれないけれど、
どんな手段を使ってもいいから、この積分の値を求めて欲しいにゃ。


解析的に解けない人は、シンプソン法や台形公式を使ってこの定積分の近似値を求めてもいいにゃ。
 ――これだって立派な解法だ!!――


ちなみに、Bloggerにおいてある数値積分のスクリプトによると、この計算結果は次の通り。

(上のものはイメージです。計算ボタンをクリックしても計算はしてくれない)


このスクリプトで計算したい物好きは、
http://nemneko.blogspot.jp/2016/11/blog-post_14.html




ただ、この2つの曲を紹介したかっただけです(^^)


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第13回 ラプラス変換入門2 微分方程式への応用 [ネコ騙し数学]

第13回 ラプラス変換入門2 微分方程式への応用


§1 ラプラス逆変換


ラプラス変換の微分方程式の応用について述べる前に、まず、その前提になるラプラス逆変換の定義をあらためて提示し、ラプラス逆変換の簡単な問題を解くことにする。

関数f(t)のラプラス変換 

  kougi-13-01.png

であるとき、ラプラス逆変換は

  

で定義される。

例えば、

  

のラプラス変換は
  

したがって、

  

となる。

上では、積分することでラプラス変換を求めているけれど、この計算をすることなく、前回紹介したラプラス変換表を利用してもよい。

下の表を見れば

  

となることがすぐにわかる。



問 次のラプラス逆変換を求めよ。

  

【解】

(1) これは

  

を利用すればよい。

  

そして、n=3a=−1とおくと

  kougi-13-03.png


(2) まず

  

と部分分数に分解する。

そして、

  

ここでは、

  

という公式を使っている。

このばあい、a=−1a=−−2であることに注意!!


(3)

  

ここでは、a=1ω=1として

  

を使っている。

(解答終了)


§2 ラプラス変換の微分方程式へ応用


y=f(t)[0,∞)上の級とする。そして、この導関数y'=f'(t)のラプラス変換を考えることにする。

ラプラス変換は

  

だから、

  

右辺の広義積分を部分積分すれば、
  
そして、次の極限が

  

に収束するとき、導関数f'(t)のラプラス変換は次のようになる。

  



定理(導関数のラプラス変換)

[0,∞)上の級関数f(t)がある2つの定数aM>0に対して

  

を満たすとき、s>aに対して

  

である。

【証明】

R>0とする。
  

条件より

  

よって、

  

(証明終了)

 


2次導関数f''(t)については、

  

以上の結果をまとめると、

  



問2 ラプラス変換を用いて、次の微分方程式を解け。

  

【解】

L(y)=Yとおくと、

  

だから、微分方程式の両辺をラプラス変換すると
  kougi-13-08.png

s+2で両辺を割ると

  kougi-13-09.png

ラプラス逆変換すると、

  kougi-13-10.png

(解答終了)


なお、上の計算では、ラプラス変換表の

  

という公式を用いている。

もっとも、ラプラス変換表を見るまでもなく

  

と簡単に求めることができる。


ラプラス(逆)変換を用いれば、面倒な積分の計算をせずに、ラプラス変換表と代数的な演算で微分方程式の解を求めることができる。



問3 次の微分方程式の解を求めよ。

  

【解】

L(y)=Yとおくと

  kougi-13-12.png

微分方程式の両辺をラプラス変換すると、

  kougi-13-13.png

ラプラス逆変換すると、

  kougi-13-14.png

(解答終了)


ラプラス変換を用いると、積分の計算をせずに、微分方程式を解けるという話。


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