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今日のアニソン、「ささみさん@がんばらない」から『浸透圧シンフォニー』 [ネムネコ備忘録]

今日のアニソン、「ささみさん@がんばらない」から『浸透圧シンフォニー』です。




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広義積分と複素積分を使って定積分の値を求める [ネコ騙し数学]

toketa-gprah-01.png問題 次の積分の値を求めよ。

  

【解】

まず、

  

の不定積分を求めることにしよう。

 

  

とおくと

  

になるから

  

不定積分は求まった。

ここで、

  

と分解。

u=θ−2πとして、右辺第2項の積分を置換積分すると、θ=πのときu=−πθ=2πのときu=0、さらに、dθ=duとなるので、

  


ということで、ε>0として

  

(解答終了)

不定積分を用いてこの定積分の値を求めようとすると、広義積分になってしまう。



【別解】

  

(解答終了)

微分積分の範囲で解けてしまったね。


また、複素関数の積分と留数定理を使うと、次のように求めることができる。


 

【別解2】

とすると、これはガウス平面(複素平面)の単位円|z=1となり、さらに

  

となるので、

  

z²+4iz−1=0の解をαβとすると

  

したがって、単位円|z=1の内部にある極はαのみとなり、その留数を求めると

  

留数定理より

  


teiseki-fukuso-00.png

(別解2終了)