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第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2 [ネコ騙し数学]

第15回 ベータ関数、ガンマ関数の問題2


問題1

  

から次のことを導け。

(1) 


(2) 

ただし、

  


(3)

  

【解】

(1) p=1/2q=1/2として代入すると

  

また、

  

ここで、x=sin²tとおき置換積分すると

  

したがって、

  


(2)

  

(3) ベータ関数の三角関数表示は

  kougi-15-03.png

nが偶数のとき、n=2mm=1,2,・・・)とおくと

  

n=3,5,・・・のとき、n=2m+1m=1,2,・・・)とおくと

  

(解答終了)


 


問題2 次の問いに答えよ。

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

  

(2) t=4x(1−x)と変換することによって、次を導け。

  

(3) 次の等式が成立することを示せ。

  

【解】

(1)

  

x=1−tとおき、右辺第2項を置換積分すると、

  

よって、

  


(2) t=4x(1−x)とおくと、x=0のときt=0x=1/2のときt=1

  

x²−x+t/4=0を解くと

  

x=0のときt=0x=1/2のときt=1

という条件を満たすのは

  

だから、

  

よって、

  

したがって、
  

(3)

  

(解答終了)