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第16回 第15回の問題の別解


第15回の解答とは違う解答を紹介することにする。


問題1

  

を示し、この値を求めよ。

【解】

t=π/2−xとおくと、x=0のときt=π/2x=π/2のときt=0、また、dx=−dtだから
  bekkai-01.png

よって

  

である。
  
ここで、

  

とおくと、n≧2に対して

  

I₀I₁を求めると

  

したがって、

nが偶数のとき

  bekkai-03.png

nが奇数のとき

  bekkai-07.png

である。

(解答終了)

 


問題2 次の等式が成立することを証明せよ。

  

【証明】

ベータ関数の三角関数表示は

  

p=qとすると
  

2θ=tとおくと、θ=0のときt=0θ=π/2のときt=π、またdt=2dθだから

  

ここで、

  

と分解し、右辺第2項の積分に対して、s=π−tとして、置換積分を施す。

このとき、t=π/2のときs=π/2t=πのときs=0、またdt=−dsだから

  

したがって、

  

よって、①は

  

ここで

  

と変形すると、

  

となる。

したがって

  

よって
  bekkai-06.png

(証明終)



y=sinx-graph.pngベータ関数とガンマ関数には

  

という関係がある。

また、

  

の証明は、sintt=π/2に対して対称だからでもOK!!
(右図参照)

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