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複素積分の補足説明(留数を求める方法) [ネコ騙し数学]

複素積分の補足説明(留数を求める方法)


複素解析のところで、留数定理の定積分への応用の具体例についてほとんど述べなかったので、これを明日以降、3回ほどやることにして、その序言のかわりとして、復習をかねて、前回取り上げた問題を例に、留数を求める方法について簡単に説明することにする。


z=aが複素関数f(z)の特異点で1位の極のとき、z=aのまわりでのローラン展開は

  

したがって、留数は

  

と求めることができる。

また、g(z)z=aを1位の零点をもつ正則な関数。h(z)z=aを零点にもたない正則関数とするとき、

  

の留数は次のように計算することができる。

  

何故ならば、

g(z)h(z)z=aまわりにテーラー展開するとき

 

となるとすると、
  

だから。


さらに、補足説明をすると、

  

なぜ、g(z)b₀という係数、項が無いかといえば、z=aが1位の零点だから。また、1位の零点だからb₁≠0でもある。

複素関数

  

とおく。

で、

  

とおき、この零点、つまり、g(z)=0となる点を求める。

  

として、2次方程式z²±√2z+1=0を解いてもいいけれど、この方法は少し大変。

そこで、

  

とおくと、z⁴=−1だから

  

これからr=1となり

  

したがって、z⁴+1=0の解は

  

これでもいいけれど、これでは解が無限に存在するように見えるので、nを非負の整数とし

  

とすると、n=0,1,2,3の4つに定まる。

z^4+1=0_no_kai_fig.pngしたがって、この解はの点になる。

この点を複素平面(ガウス平面)上に描くと右の図のようになる。

 


しかし、この解を次のように求めることも可能。

  

や、もっと直裁的に

  

実は、複素関数論的にはこれでもいいんだよね〜。

何故だろうか(^^)

話を、留数の計算に戻す。


g(z)=z⁴+1の零点はどれも1位。

何故ならば

  

となるから。

そして、複素平面の上側にある点はの2点のみ。

もちろん、2式を使って留数を求めてもいいけれど、計算が大変なので(3)式を使う。

  

だから、

  

したがって、

  


タグ:複素解析

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