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広義積分のおまけ [ネコ騙し数学]

広義積分のおまけ



問題1 次の等式を証明せよ。

  

【解】

t=tanxとおくと

  

だから

  

また、

  

そして、積分区間の限界はx=0のときt=0x→π/2+0のときt→+∞だから
  

(解答終了)


こう解けば、複素積分や留数定理を使わずに、実積分の広義積分としてこの値を求めることができる。


ちなみに

  

は、sin²x+cos²x=1cos²xで割ると

  

から出てくる。

これで終わると、手抜き呼ばわりされるかもしれないので、もうひとつ広義積分の問題を解くことにする。


問題2 次の積分の値を求めよ

  

【解】

  

と部分分数に分解する。

この不定積分は次のように求められる。

  

したがって、

  

(解答終了)


すこし補足説明すると、

  

また、

  


そして、問題1、2とも積分公式

  

を使っている。

どこから、x²+2x+1が出てきたかですが、これは

  

だから、

  


この程度の積分ならば、実積分、つまり、微分積分の範囲で解くことができるという話です。

なお、昨日紹介した複素積分による手法で問題2の積分の値は求められないので、この点は注意すること。