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第2回 三角形の合同条件 [ネコ騙し数学]

第2回 三角形の合同条件


小中学校で、次の3つの三角形の合同条件を習ったと思う。

今回は、前回、導入した公理に基づいた証明を紹介する。

定理6 三角形の合同条件

(1) 2辺と挟角相等

(2) 1辺と両端の角相等

(3) 3辺相等

【証明】

02-fig-00.png(1) △ABCと△A’B’C’において、AB=A’B’AC=A’C’、∠A=∠A’とする。

A'B'C'を移動させ、AA’が一致するように、半直線ABA'B’を重ねる。

AB=A'B'だから、BB'は重なる。

また、∠A=∠A’だから、半直線ACA’C’も重なり、AC=A'C'だから、CC’は重なる。

2点BB')とCC')を通る直線は1本なので、BCB'C'は重なる。

よって、

△ABC≡△A’B'C'

02-fig-03.png(2) △ABC、△A’B’C’において、BC=B’C’、∠B=∠B’、∠C=∠C’とする。

BC=B’C’であるから、△A’B’C’を移動してB’BC’Cに重ねると、辺B’C’と辺BCに重なる。

B=∠B’、∠C=∠C’であるから、B’A’BAが重なり、C’A’CAに重なる。

2直線の共有点は1だけだから、A’Aは重なる。

よって、△ABC≡△A’B’C’である。

(証明終わり)

(3)のの証明のために次の定理を証明する。


定理7 二等辺三角形の底角は等しい。

02-fig-01.png【証明】

ABCを裏返して、ABCA’B’C’になったとする。

図形を裏返しにしても形や大きさは変わらないから△ABCと△A’C’B’において

AB=AC=AC’

AC=AB=A’B’

BAC=∠C’A’B’

よって、△ABC≡△A’C’B’ (二辺挟角相等)

∴ ∠ABC=∠A’C’B’=∠ACB

(証明終わり)

そして、この定理7を用いて、定理6の(3)を証明することにする。


02-fig-02.png定理6の(3)の証明

BC=B'C'だから、△A'B'C'を移動してB’BC'Cとを重ねると、辺B'C'と辺BCは重なる。

そこで、A'が直線BCに関してAと反対側にくる点をDとする。

BDABD=BAの二等辺三角形なので、∠BDA=∠BAD

また、△CADCA=CDの二等辺三角形なので、∠CAD=∠CDA

よって、∠BAD=∠BDA

定理6の(1)の2辺挟角相等より、△ABC≡△DBC

∴ △ABC≡△A'B'C'

(証明終)


02-fig-04.png問題 「ABA'B'AC=AC'、∠ABC=∠A'B'C'ならば△ABC≡△A'B'C'である」は正しいか。

【解】

反例として、次の三角形を上げれば十分でしょう。

つまり、正しくない。

(解答終)
タグ:初等幾何

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