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第9回 微積分の基本定理など [ネコ騙し数学]

第9回 微積分の基本定理など


定理12

関数f(x)が区間I上で連続であるとする。このとき、I上の関数F(x)に対して

(1) F(x)f(x)の不定積分である

(2) F(x)f(x)の原始関数である

は同値である。

【証明】

(1)⇒(2)

F(x)f(x)の不定積分とすると、

  

したがって、
  

f(x)Iで連続だから、積分の平均値の定理より

  

となるθが存在する。

したがって、

  teisekibun-09-02.png

(2)⇒(1)

F(x)f(x)の原始関数とすると、

  

また、f(x)の不定積分

  

とすると、

  

よって、

  

したがって、

  

となり、F(x)f(x)の不定積分である。

(証明終)


以上のことより、次の定理が成り立つ。


定理13 (微積分の基本定理)

f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対し

  

とおくと、F(x)Iで微分可能であり、

  

である。


さらに、次の定理。


定理14

f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。

【証明】

f(x)の不定積分をF(x)a∈Iとすると、

  

xIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)[x−δ,x+δ]で有界だから、

  

となる正の定数Mが存在する。

そこで、0<h<δとすると、

  

δ<h<0とすると

  

したがって、

  

となり、連続である。

xIの端点であるときも同様。

(証明終)

 


定理15

f(x)[a,b]であるとする。F(x)f(x)の原始関数であれば、

  

である。

【証明】

f(x)[a,b]で連続でF(x)f(x)の原始関数だから、定理12よりF(x)f(x)の不定積分であり、

  

と表せる。

よって、

  

(証明終)

そして、これで、高校の定積分の公式

  

に結びついた。

 


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第8回 原始関数と不定積分 [ネコ騙し数学]

第8回 原始関数と不定積分


高校の数学では、たとえば、原始関数と不定積分を

「導関数がf(x)である関数を不定積分、または、原始関数といい、記号であらわす。すなわち、

  

である」

と定義するなど、原始関数と不定積分の違いがかなり曖昧である。


この事情は、大学の数学においても同様で、

「関数Fに対し、導関数がfに等しい関数をfの原始関数という。原始関数をであらわし、fの不定積分という」

など、教科書によって立場が異なり、かなり混乱しているように思う。

そこで、原始関数をあらためて次のように定義することにする。


定義(原始関数)

区間I上の関数f(x)に対し、
  teisekibun-08-01.png

を満たす関数F(x)が存在するとき、F(x)f(x)の原始関数という。



定理13

関数F(x)f(x)の原始関数、すなわち、F’(x)=f(x)ならば、F(x)+CCは定数)もfの原始関数である。関数G(x)f(x)の他の原始関数ならば、差G(x)−F(x)は区間I上で定数である。すなわち、

  

である。

【証明】

F(x)f(x)の原始関数であるとすると、

  

したがって、F(x)+Cf(x)の原始関数である。G(x)f(x)の他の原始関数とすると、G’(x)=f(x)だから、H(x)=G(x)−F(x)とおくと、x∈Iのすべてのxについて

  

a∈Iである1点aをとると、平均値の定理より

  

となるξが存在し、
  

よって、G(x)−F(x)は区間I上で定数。

(証明終)


例1 実数R上の関数

  

は原始関数をもたない。

この関数f(x)が原始関数F(x)を持つとすると、x>0で微分可能でF’(x)=f(x)=0になるので、F(x)x>0で定数関数。同様に、x<0でもF'(x)=f(x)=0だから、F(x)x<0で定数関数。

そこで、
  teisekibun-08-03.png

とおくと、F(x)x=0で微分可能だからx=0で連続だから、

  

したがって、
  teisekibun-08-04.png

となり、F(x)f(x)の原始関数であることと矛盾する。

よって、f(x)は原始関数を持たない。

 


定義(不定積分)

関数f(x)を区間Iに含まれる有界閉区間上で積分可能とする。このとき、a∈Iと任意定数Cに対して

  

f(x)I上の不定積分といい、

  

であらわす。

上記のように不定積分を定義すると、

  

f(x)は実数Rに含まれる任意の任意の有界閉区間上で積分可能で、f(x)の不定積分は

  

となる。ここで、Cは任意の定数である。

このとき、F’(0)=0で、F’(0)≠f(0)=1となるので、F(x)=Cf(x)の不定積分であるが、f(x)の原始関数ではない。



例2 f(x)=xの不定積分は

  

は定数だから、これをあらためて定数とすると、

  


 


問 実数R上の関数

  

の不定積分F(x)の一つを求め、F’(x)=f(x)が成り立たないことを示せ。

【解】

a=0、積分定数C=0とする。

x<0のとき

  

x≧0のとき

  

したがって、

  

よって、F(x)x=0で微分可能でなく、F'(x)=f(x)は成り立たない。

以上のことより、(2)式で不定積分を定義すると、不定積分に対しては(1)式が必ずしも成立しないことがわかると思う。


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第7回 定積分の性質2 [ネコ騙し数学]

第7回 定積分の性質2


定理10

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能ならば、f(x)g(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)g(x)I上で有界だから、

  

となる定数MM>0)が存在する。

y∈Iとすると、

  

したがって、Iの任意の分割をΔとすれば、振幅は

  

よって、

  

f(x)g(x)I上で積分可能だから、|Δ|→0のとき

  

だから、

  

となり、f(x)g(x)I上で積分可能である。

(証明終)


よって、有界閉区間I上で連続な関数f(x),g(x)I上で積分可能だから、上の定理からf(x)g(x)I上で積分可能である。

また、f(x)を有界閉区間I上で連続、g(x)I上で積分可能のとき、f(x)g(x)I上で積分可能である。

定理11

関数f(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)>0、さらにが有界ならば、I上で積分可能である。

【証明】

f(x)I上で有界だから

  

である定数M>0が存在する。

したがって、x,y∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると

  

f(x)I上で積分可能だから

  

よって、

  

したがって、1/f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


上の2つの定理から、f(x)g(x)が有界閉区間I上で積分可能でf(x)≠0ならば、f(x)/g(x)I上で積分可能ということになる。


定理12

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で積分可能ならば、|f(x)|はI上で積分可能で

  

である。

【証明】

xy∈Iに対して

  

Iの任意の分割をΔとすると、

  

よって、

  

f(x)I上で積分可能だから

  

したがって、

  

となり、|f(x)|はI上で積分可能である。

また、

  

よって、

  

(証明終)

「ラーメンは減点法の食べ物」である【日刊サイゾー】 [ネムネコの呟き]




「たかがラーメン、されどラーメン」だけれど、
それでも、やっぱり、たかがラーメンだケロ。
いくらうまいたって、ラーメンだケロ、その美味しさはたかが知れているにゃ。

ところで、
ネムネコの姪っ子が、昨年の今頃、「◯◯屋の牛丼の方が美味しい」と、ネムネコに、のたまわったにゃ。
ネムネコの中では「◯◯屋であろうが、△△屋、◇◇屋であろうが、こんなものは料理のうちに入っていない」から、この姪っ子の話を聞いたとき本当に唖然としてしまったケロ。
どう反応したらいいのか、困ってしまったケロ。

でもまぁ〜、
ネムネコの妹(この姪っ子の母親)は料理が下手で、このネムネコの妹の作る料理を毎日食っているんだから、姪っ子が味覚音痴なのはしょうがないかな。
姪っ子は、小さい頃、駄菓子やジャンクフードを好んで食べていたし、今もジャンクフードをよく食べているから、味覚がかなり狂っていることは否定のしようがない事実だケロ。

でも、時々、
「何を食べても美味しい」と思えるヒトと、「食べ物の味に超〜うるさくて、生半なものを食べて美味しいと思えない」ネムネコのようなタイプとどちらが幸せなのだろうか
と、考えこむことがある。
どっちが幸せなんだろう。
どう思う?




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