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第1回 定積分(リーマン積分)の定義 [ネコ騙し数学]

第1回 定積分(リーマン積分)の定義


リーマン和の定義

有界閉区間[a,b]の分割

  


に対し、を選んで

  

リーマン和と呼び、

  

分割の幅という。

 


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれののなかの任意のに対して

  

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  

とあらわす。

たとえば、閉区間[0,1]で定義される関数f(x)=xがあるとする。[0,1]を次のように

  

n等分し、その小区間

  

をとると、このリーマン和は
  

となり、

  

である。

しかし、このことをもって、

  

としてはいけない。

この結果は、確かに、

  

と一致する。

しかし、①は[0,1]n等分するという特定の分割のものであって、さらにその特定の

  

という点をとったリーマン和に過ぎず、分割によって、また、のとり方によって値が変わってくるかもしれないからだ。


そこで、次の問題。



問題 x∈[0,1]で定義される次の関数

  

が(リーマン)積分可能でないことを示せ。

【解】

[0,1]n等分、すなわち、

  

と分割する。

そして、をとると、これは有理数だから、

  

内の無理数ををとると

  

よって、積分可能でない。

(解答終)



高校の数学では、定積分を区分求積法

  teisekibun-01-siki-01.png

で定義したが、この定積分の定義を問題1に用いると、

  

と、積分可能になってしまう(^^)

この積分の定義⑨のままでは都合が悪いことがわかってもらえたと思う。


さてさて、

  

の証明。

f(x)=x[0,1]の分割を

  

とする。

の中点に選ぶと、

  

また、すべての分割Δのそれぞれのの任意のに対して

  

したがって、

  teisekibun-01-siki-05.png  

である。


高校数学の定積分 [ネコ騙し数学]

高校数学の定積分


高校数学の定積分の定義は、以下のようなものである。


関数f(x)は有界閉区間[a,b]において連続で、[a,b]

  

n等分とし、

  

とおくと、

  


例えば、[0,1]で定義されたf(x)=x²の定積分

  

は、定義(1)にしたがって次のように求めることができる。

  


(1)を使うと、次のような問題を解くことができる。


問題1 次の極限値を求めよ。

【解】

(1)
  

[0,1]n等分し、

  

とし、

  

とおくと、

  


(別解)

[1,2]n等分し

  

とし、

  

とおけば、

  


(2)

  

[1,0]n等分し

  

とし、

  

とおくと、
  

(別解)

[1,2]n等分し

  

とし、

  

とおけば、
  
(解答終了)

(3)

  

[0,1]n等分し、

  

とし、

  

とおけば、
  

ここで、

  

とおくt、x=0のときt=1x=1のときt=2dx=dtだから
  

(解答終了)



問題2 f(x)=x⁴のとき、次の極限を求めよ。

  



  

を真面目に計算しろというのでしょうが、そんな面倒なことはやってられないケロ(^^

【解】

[0,1]n等分し

  

とし、

  

という区間を考えると、

  

となるので、は点1:2に内分する点で、また、f(x)=x⁴[0,1]で単調増加。

したがって、
  

また、

  

さらに、

  

となるから、2:1に内分する点。したがって、

  

となり、同様に

  

よって、
  

(解答終了)


(1)は、

  

としたものだが、問題2はのとり方によらず積分の値は一定で

  

になるということを主張しているのであった。
タグ:微分積分

今日のクラシック、ヨハネス・オケゲム作曲『レクイエム』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、ヨハネス・オケゲム作曲『レクイエム』です。



ネムネコは、大学生の時に、一般教養で「西洋音楽史」の講義を受講していたので、その縁で「オケゲム」という名前は知っていた。この講義でテキスト指定されていた「西洋音楽史」という本にもこの作曲家の名前は出ていたからね〜。
しかし、NHKのFMなどでひょっとしたらこの作曲家の曲を聞いたことがあるかもしれないけれど、聞いた記憶はない。おそらく、この作曲家の曲を曲を聞いたと言ってもいいだろう。

これは何も私だけに限ったものではなく、多くのクラシックファンがそうであると思うが、大学の合唱部などに入っていたヒト、または、バッハ以前の古楽ファンでもなければ、どうしても、聞く曲は、バッハと同時代の作曲家の曲、バッハ以降の作曲家の曲、モーツアルト、ベートーヴェン以降の作曲家の曲になってしまうので、これも無理のない話であろう。

ベルディの『レクイエム』の「怒りの日」のような劇的な要素は少ないけれど、オケゲムの『レクイエム』は透明感のある美しい旋律に溢れ、非常に美しい曲だと思う。
 ――オケゲムの『レクイエム』には「怒りの日」などの続唱(Saquentia)が入っていない!! ネムネコの秘密の情報網によると、どうも、この時代の『レクイエム』には続唱(Saquentia)が入っていないようだ♪――



と同時に、後世の同じフランスの作曲家であるフォーレの『レクイエム』を予感させるものがあるように思う。



オケゲムの『レクイエム』はポリフォニーであるのに対し、フォーレはシンホニー、ハーモニーと、音楽・作曲技法において大きな違いがあるのは事実。しかし、グレゴリオ聖歌を媒介してなのかもしれないが、時代を隔てているけれど、オケゲムの『レクイエム』とフォーレの『レクイエム』との間に音楽的な連続性を感じてしまう。

オケゲムの『レクイエム』は名曲だと思うので、是非、聞いて欲しいにゃ。

最後に、オケゲムとオケゲムの『レクイエム』について詳しく書かれている記事のリンク先を紹介して、終わりにするにゃ。

http://lecahier.blog.so-net.ne.jp/2010-06-05

おまけとしまして、グレゴリオ聖歌の「怒りの日」



と、この旋律が使われているベルリオーズの『幻想交響曲』のフィナーレ、第5楽章を。




タグ:クラシック
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関数の振幅 [ネコ騙し数学]

関数の振幅


定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
  

f(x)I上の振幅振動量)という。

区間I上の関数f(x)がある実数Mがあり、すべてのx∈Iに対して

  

であるとき、関数f(x)は有界であるという。

論理記号で書くと、

  


ちなみに、有界でない関数は、(2)の否定をとると、

  

となるので、任意の実数Mに対して、

  

となるx∈Iが存在する関数のことである。

有界な関数の例としては、たとえば、I=[01]で定義されたf(x)=x²。このとき、0≦f(x)≦1だから有界である。

一方、有界でない関数の例としては、たとえば、I=(0,1]で定義されたf(x)=1/x。この関数の値域は1≦f(x)<∞だから、有界ではない。

現に、どのような実数M≧1を与えても

  

となるので、この有界でないことを定義にそって証明することができる。

例1 I=[0,1]f(x)=x²とすると、

  

だから、f(x)I上の振幅ω(f,I)

  



例2 I=[−π,π]f(x)=sin とすると。

  



例3 I=[−1,1]

  

とすると、

1≦x<0のとき

  

x=0のときf(x)=0

0≦x≦1のとき
  

だから、

  


上限と下限の問題 Part2 [ネコ騙し数学]

上限と下限の問題 Part2


問題1

  

とするとき、sup Ainf Amax Amin Aを求めよ。

【解】

kyokugen-graph-02.pngnのときの集合Aの要素を

  

とおく。

nが偶数、n=2kk=1,2,…)のとき

  

は単調増加列で

  

nが奇数、n=2k−1(k=1,2,…)のとき

  

は単調減少列で

  

したがって、sup A = 1/2inf A = −1/2max AminAは存在しない。

(解答終了)


問題2 数列に関して次のことを証明せよ。

  

【解】

(1) すべてのn∈Nに対して

  

したがって、は数列の上界。

よって、

  


(2) すべてのn∈Nに対して

  

よって、は数列の下界。

したがって、

  

(解答終)

等号が成立しない例として、一般項が

  

である数列があげられる。

このとき、

  

だから、

  

一方、

  

この場合、

  

である。

(解答終)


問題3

ABを実数Rの空でなく有界な部分集合として

  

とおく。次を証明せよ。

sup C = sup A + sup B

【解】

sup A=αsup =βとおく。

任意のx∈Aに対してx≦α、任意のy∈Bに対してy≦β

したがって、任意のx+y∈Cに対して、

  

よって、α+βは集合Cの上界

また、αAの上限だから任意の正数ε>0に対して

  

となるx∈Aが存在する。

βBの上限だから任意の正数ε>0に対して

  

となるy∈Bが存在する。

よって、任意の正数ε>0に対して

  

となるx+y∈Cが存在し、α+βCの最小の上界。

よって、

  sup C = sup A + sup B

である。

(解答終)


上限・下限の問題 [ネコ騙し数学]

上限・下限の問題


問題を解く前に、最大数、最小数の定義を与える。


最大数・最小数の定義

Aを空でない実数Rの集合とする。

α∈Rが、α∈AかつAの上界であるとき、αA最大数といい、max Aであらわす。

β∈Rが、β∈AかつAの下界であるとき、βA最小数といい、min Aであらわす。

問題1

  

とする。sup Ainf Amin Amax Aを求めよ。

【解】

sup A = 1inf A=−1max A = 1

min Aは存在しない。

(解答終了)

 


問題2

Aを空でない実数Rの集合とする。

max Amin A)が存在するための必要十分条件は、Aが上に有界(下に有界)であって、かつsup A∈Ainf A∈A)であることをを示せ。

【解】

max A=αとする。αAの上界だから任意のx∈Aに対してx≦αで、任意の正数ε>0に対してα−ε<α∈A。したがって、α=sup Aで、sup A∈Aである。

β=sup Aとすると、任意のx∈Aに対してx≦ββ∈Aだから、β=max Aである。


min A=α
とする。αAの下界だから任意のx∈Aに対してx≦αで、任意の正数ε>0に対してα+ε>α∈A。したがって、α=inf Aで、inf A∈Aである。

β=inf Aとすると、任意のx∈Aに対してx≦ββ∈Aだから、β=min Aである。

(解答終了)



問題3 次の集合の上限と下限を求めよ。

  

【解】

  

だから、t=π/nとおくと

  

n=1のときt=πn→∞のときt→0

t∈(0,π]として、

  

jogen-kagen-graph-01.pngとおくと、f(t)のグラフは右図になり、単調減少となる。

したがって、f(t)の上限は

  

下限(最小数)は

  

以上のことより、sup A =πinf A = 0である。

(解答終了)



問題4 空でない実数Rの部分集合Aに対して

  

とおく。

このとき、

  

を証明せよ。

ただし、−(−∞)=∞、−(∞)=−∞とする。

【証明】

Aが上に有界であるとする。

α=sup (−A)とおくと、すべての−x∈−Aに対してα≧−x。したがって、すべてのx∈Aに対してx≧−αとなり、−sup(−A)=−αAの下界になる。inf AAの下界の最大数だから、

  

inf A=βとすると、すべてのx∈Aに対してx≧β。したがって、すべての−x∈−Aに対して−x≦−βとなり、−inf A=−βは−Aの上界である。sup (−A)は−Aの上界の最小数だから、

  

(1)と(2)から、

  


Aが上に有界でないとすると、Aは下に有界でない。

すなわち、sup (-A)=∞inf A=−∞

よって、

  

である、

(−A)=Aだから、(3)より

  

(解答終了)

ちょっと解いてみた [ネコ騙し数学]

ちょっと解いてみた


問題 数列

  

が収束すること示し、その極限値が1/21の間にあることを示せ。

【解答】
  

したがって、数列は単調減少。

また、

  

だからで、0の下界。

下に有界な単調減少の数列は収束するので、は収束する。

  

だから、

  

が収束することはわかった。その極限値を求めることにする。


  

だから、

  

とおき、[0,1]n等分に分割した点を

  

つまり、

  

とすると、

  

となる。

f(x)x≧0で単調減少関数だから、

  

だから、
  

また、

  

と変形すると、

  


  

kyokugen-graph-00.pngだから、同様の議論から

  

したがって、

  

となる(右図参照)。

  

だから、ハサミ打ちの定理より

  


kyokugen-graph-01.png

上限と下限 [ネコ騙し数学]

上限と下限


§1 上界と下界

Aを実数Rの空でない部分集合とする。

α∈Rが、任意のx∈Aに対し、α≧xであるとき、αA上界という。

β∈Rが、任意のx∈Aに対し、β≦xであるとき、βA下界という。

Aの上界(下界)が存在するとき、A上に有界下に有界)であるという。Aが上に有界かつ下に下界であるとき、A有界であるという。


例1 空でない実数Rの部分集合

  

があるとする。

α≧1の実数αに対して、任意のx∈Aα≧xだから、αAの上界で、1Aの最小の上界である。

β≦0の実数βに対して、任意のx∈Aβ≦xだから、βAの下界で、0Aの最大の下界である。

また、Aは上に有界でかつ下に有界だから、Aは有界である。


§2 上限と下限

空でない実数Rの部分集合Aが上に有界(下に有界)ならば、Aの上界(下界)の全体集合Bには最小数(最大数)が存在する。

Aの上界の最小数をA上限といい、sup Aあるいはであらわす。

Aの下界の最大数をA下界といい、inf Aあるいはであらわす。

Aが上に有界(下に有界)でないとき、sup A=+∞inf A=−∞とあらわす。


定理1

sup A=αである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してx≦α、かつ、任意の正数ε>0に対してα−ε<xを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

  

inf A=βである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してβ≦x、かつ、任意の正数ε>0に対してx<β+εを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

  



定理2

A⊂Bならば、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup B

【証明】
inf A ≦ sup Aは、上限・下限の定義よりあきらか。

sup A=αsup B=βα>βとする。

  

とおくと、αAの上限だから

  

となるx∈Aが存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≦βとなり、矛盾する。

よって、α≦βで、sup A ≦ sup Bである。

inf A=αinf B=ββ>αとする。

  

とおくと、αAの下限だから

  

となるx∈Aに存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≧βとなり、矛盾する。

よって、β≦αで、inf B ≦ inf Aである。

(証明終了)


例2

  

とすると、A⊂B

このとき、inf A = 0sup A = 1inf B = −1supB = 2だから、inf B < inf A < sup A < sup Bとなり、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。

A⊂Cで、inf C=0sup C=1だから、inf C = inf A < sup A = sup Cとなり、inf C ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。


問 開区間I=(a,b)とするとき、inf I = asup I=bであることを示せ。

【解】

開区間I=(a,b)

  

だから、任意のx∈Iならば、a<xかつx<b

したがって、aは集合Iの下界、bは集合Iの上界である。

inf I=α<aとする。

  

とすると、定理1より

  

となり、αIの下限であることに反する。

したがって、inf I=aである。

sup I= β>bとする。

  

とすると、

  

となり、βIの上限であることに反する。

したがって、sup I=bである。

(解答終了)

ニュートン法 [ネコ騙し数学]

ニュートン法

Newton-method-01.pngf(x)を微分可能な関数とする。

方程式

  

の解をx=αとする。

右の図のように適当な点x₁を選び、y=f(x)の点(x₁,y₁)における接線の方程式は

  

で、この接線とx軸との交点のx座標x₂は、上の式にy=0を代入することによって、

  

となる。

そして、同様ににおける接線の接線を引き、この接線とx軸との交点のx座標x₃を求めると、

  

となり、この操作を繰り返せば繰り返すほど、こうして求められたf(x)=0の近似値である

f(x)=0の解、x=αに近づいてゆくことが予想される。


これがニュートン法である。

漸化式の形で書けば、ニュートン法は次のようになる。

  


Newton-method-tab-01.pngx=√3の近似値をニュートン法を用いて求めることにする。

x=√3の両辺を2乗すると

  

これを

  

とおき、f(x)=x²−3=0x>0)とすれば、これはx=√3と同値。

f'(x)=2xだから、

  

計算開始のx₀=1として、表計算ソフトを使って計算したものは次の通り。

4、5回計算するだけで、x=√3≒1.732050808という近似値に到達している。


ニュートン法は前回の2分法よりも速く、しかも急速に収束することがわかると思う。


ただし、ニュートン法は、次の例のように、収束しないことがある。

  

計算の初期値としてx₀=1、または、x₀=2を取ると、

接線の方程式が、それぞれ、

  

となり、x=1x=2を交互に永遠に行き来する。

Newtonhou-02.png

この他にも、f'(x)=0になる点に差し掛かったとき、ゼロ割が発生するなど、危険な一面も有している。

こういうことは極まれにしか起きないけれど、運悪くこのような事態に遭遇することがある。

2分法と比較すると、ニュートン法は収束の速度は速いけれど、安定性に欠ける。


微分と差分 [ネコ騙し数学]

微分と差分


f(x)を何度でも微分可能な関数とする。

このとき、f(a+h)は、以下のようにテーラー展開が可能である。

  

同様に

  

(1)式から

  

h1次以上の項を無視すると、x=aにおける微分係数f'(a)は次のように近似可能である。

  

同様に、(2)式から

  

が得られる。

(3)、(4)式とも1次以降の項を落としているので、誤差は1次オーダ、すなわち、O(h)である。

また、(1)から(2)を引くと

  

以上の項を落とすと、

  

という近似式が得られる。

(5)式は、以降の項を落としているので、誤差はhの2次オーダ、O(h²)

x軸上に等間隔hでならぶの点の集まりに正の方向に向かって整数の番号をつけると、という点の列、点の列が得られる。

とすると、(3)、(4)、(5)式は次のように書き換えることができる。

  

このように書くのは面倒なので、と略記することにすると、(3)、(4)、(5)の近似式は

  

となる。

このように、無限小の微分を有限な差の形で近似する方法を差分法という。

(6)を前進差分、(7)を後退差分、(8)を中心差分という。

2次導関数f''(x)の近似式は、次のように求めることができる。

(1)と(2)を足すと、

  

以上の項を落とすと、

  

つまり、

  

となる。

なお、(6)、(7)式は不等間隔で点がならんでいる場合でも、(6)式では、(7)式はとおくことによって成り立つが、(8)、(9)は不等間隔の場合、成り立たないので注意が必要。

不等間隔の場合、テーラー展開にさかのぼって、差分による微分の近似式を求めないといけない。

x=0における微分係数を(6)、(7)、(8)を使って求めてみる。

h=0.1である。

  

前進差分、後退差分の誤差は約0.05、中心差分は約0.0017だから、この場合、中心差分が最も精度よく計算できていることがわかるだろう。

sabun-gosa-01.pngx=2のときの微分係数の誤差とxの増分hとの関係を右図に示す。

前進、後退差分の勾配が1、中心差分の勾配が2であることがこの図から分かると思う。

このことは、前進・後退差分の誤差のオーダーが1次であり、中心差分の誤差のオーダーが2次であることを指し示しており、理論通りというわけ。
つまり、h1/10になったとき、前進、後退差分の精度が10倍良くなるのになるのに対して、中心差分は精度は100倍向上する。