So-net無料ブログ作成

南極の海氷、観測史上最少に 2000年代より3割減 朝日 [ネムネコの呟き]





「魔術」疑われた7人を122人が惨殺、パプアニューギニア AFPBB [ネムネコの呟き]





LGBT調査 半数以上が学校でいじめを経験 NHK [ネムネコの呟き]





第6回 連続関数の積分可能性 [ネコ騙し数学]

第6回 連続関数の積分可能性


定理7 (有界閉区間上の連続関数の積分可能性)

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)I上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

  

ΔであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

  

よって、
  teisekibun-06-02.png

したがって、

  

となり、f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


定理8

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で連続で、

  

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

  

である。

【証明】

  

とすると、条件より

  

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)g(x)I上で連続だからh(x)I上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、|x−ξh(x)>0である正数δが存在し、
  

ξ=aのとき、a≦x<a+δh(x)>0である正数δが存在し

  

ξ=bのとき、b−δ<x≦bh(x)>0である正数δが存在し

  

(証明終)

例 閉区間[0,1]で定義される

  

g(x)=0x∈[0,1])があるとする。

f(x)g(x)[0,1]上で積分可能で

  

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

  

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、(2)式の等号が外れて

  

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。



定理9 (積分の平均値の定理) 

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

  

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)I上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

(証明終)



例2 f(x)g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x

  

とする。

このとき、

  

f(x)[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

  

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

  

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。


ふるさと納税、返礼品は寄付金の3割まで 総務省通知へ 朝日 [ネムネコの呟き]





自殺の動機、3人に2人が「健康問題」 厚労省など分析 朝日 [ネムネコの呟き]





第5回 積分可能であるための条件 [ネコ騙し数学]

第5回 積分可能であるための条件


リーマン和に基づく積分可能の定義は以下の通り。


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して

  teisekibun-05-01.png

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  teisekibun-05-02.png

とあらわす。


不足和、過剰和の定義は次の通り。


不足和、過剰和の定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、
  teisekibun-05-03.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和、過剰和という。


上積分、下積分の定義は次の通り。


上積分、下積分の定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

関数の振幅(振動量)の定義は以下の通り。


関数の振幅の定義

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して
  teisekibun-05-04.png

f(x)I上の振幅振動量)という。


定義を再掲したところで、積分可能性の必要十分条件に関する以下の定理を紹介する。



定理

有界閉区間i=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、次の条件は同値である。

(1) f(x)I上で積分可能である。

(2) 


(3) Iの分割Δに対して

  teisekibun-05-05.png

【証明】

(1)⇒(2)の証明。

任意の正数ε>0に対して、

  

任意の分割Δに対して、とおくと、上限の定義より

  

となるが存在する。

よって、
  teisekibun-05-06.png

f(x)I上で積分可能だからδ>0が存在し|Δとなる任意の分割に対して

  

よって、任意のIの分割Δに対して
  

についても同様。



(2)⇒(1)の証明

任意の分割Δに対して

  

が成立し、

  

となり、ハサミ打ちの定理より

  

である。

(2)⇔(3)

Iの任意の分割Δに対して

  

ダルブーの定理よりは収束するので、
  teisekibun-05-08.png

よって、

  teisekibun-05-09.png

(証明終了)


上の定理を使うと、有界閉区間I=[a,b]上の単調な関数f(x)が可能であることを証明することができる。


定理(有界閉区間上で単調な関数の積分可能性)

有界閉区間i=[a,b]上で単調な関数f(x)は、I上で積分可能である。

【証明】

Iの任意の分割Δに対するにおける上限、下限は

  

である。

f(x)が定数関数のとき、任意の分割Δに対して

  

だから、
  teisekibun-05-10.png

となり積分可能である。

f(x)が単調増加の場合、任意の正数ε>0に対して

  

とおくと、|Δである任意の分割Δについて
  

となり、

  

で積分可能である。

f(x)が単調減少のときも同様。

(証明終)

f(x)が単調減少のとき、g(x)=−f(x)とおくと、g(x)I上で単調増加で、g(x)I上で積分可能。

g(x)I上で積分可能だから、f(x)=−g(x)I上で積分可能である。

これを有界閉区間上の単調減少関数の積分可能性の証明にしてもよい。


「世界で最も幸福な国」はノルウェー、国連報告書 AFPBB [ネムネコの呟き]





第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理 [ネコ騙し数学]

第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理


リーマン和はに基づき定積分を定義する場合、有界閉区間I=[a,b]のすべての分割

  

の任意のについて

  teisekibun-04-01.png

が、|Δ|→0のときに1つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。


teisekibun-graph-01.png定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、

  teisekibun-04-02.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和過剰和という。


だから

   teisekibun-04-06.png

であり、したがって

  

が成立する。

Iの分割にあらたな分点cを1つ追加した分割をΔ'とすると、このとき、となる区間が存在する。

分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。つまり、
   teisekibun-04-00.png

特に

  

である。

同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。つまり

  teisekibun-04-04.png

で、特に

  

である。

ΔΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、

  teisekibun-04-05.png

よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。


ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。


定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

任意のΔΔ’について

  

が成り立つから、

  

である。

定理(ダルブーの定理)

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は|Δ|→0で収束して、
  teisekibun-04-08.png

である。

【証明】

  

を証明する。

だから任意の正数ε>0に対して

  

となる分割Δ₀が存在する。分割Δ₀の分点の数をnとする。

f(x)I=[a,b]で有界だから

  

とおく。

分割Δの小区間に対してとなる分点を1つ加えた分割をΔ₁とすると、

  

より
  teisekibun-04-08.png

である。

分割Δと分割Δ₀を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、

  

そこで、

  

とおくと、|ΔとなるIの分割に対して、
  teisekibun-04-09.png

また、

  

より、
  

したがって、

  

が成り立つ。

についても同様。

(証明終)

英国、3月29日にEU離脱を通告 首相官邸が発表 産経 [ネムネコの呟き]