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関数の連続の問題 [ネムネコの呟き]

関数の連続の問題


問題1

  

とするとき、関数の連続性を調べよ。

【解】

renzoku-mondai-01.pnga∈Rとし、fが点aで連続であると仮定する。

aに収束する有理数の点列(数列)を考えると、

  

aに収束する無理数の点列を考えると

  

関数fは点aで連続なのだからaに収束するすべての点列に対して

  

にならなければならないので、

  

つまり、この関数が連続になりうる点はa=1/2のみである。

そこで、点1/2の近傍、つまり、|x−1/2δ>0)を考えると、xが有理数のとき

  

xが無理数のとき

  

いずれにせよ

  

したがって、δ→0のとき

  

となり連続になる。

fが点1/2で連続であることをε-δ論法で証明したいならば、

任意の正数ε>0に対してδ=εとすると

  

となるから、関数fx=1/2で連続である。

以上のことより、x=1/2で連続、それ以外では不連続。

(解答終)



問題2 RからRへの関数がいたるところで連続で、xが有理数のときつねにf(x)=0ならば、fは恒等的に0であることを証明せよ。

【証明】

fは恒等的に0でない、つまり、f(a)≠0である無理数aが存在すると仮定する。

f(a)≠0だから、f(a)>0またはf(a)<0

f(a)>0の場合、関数fx=aで連続だから任意の正数ε>0に対して

  

となる正数δ>0が存在する。

  

εは任意の正数だからε=f(a)/2とおくと

  

つまり、f(a)>0のとき、aの近傍ではf(x)>0である。

同様に、f(a)<0のとき、aの近傍ではf(x)<0である。


無理数aの近傍には有理数xが存在し、f(x)>0またはf(x)<0、つまり、f(x)≠0にならなければならないけれど、これはxが有理数であるとき常にf(x)=0であるということに矛盾する。

この矛盾はxが無理数のとき恒等的にf(x)=0でないと仮定したためである。
よって、xが無理数のときも恒等的にf(x)=0となり、証明された。

(証明終)



ちなみに、f(a)<0のときは、とし

  

の不等式の右辺を使って

  

とするとよい。

 


【別の証明(?)】

無理数xに収束する有理数の点列をとると、関数fは点xで連続だから

  

したがって、xが無理数のときもfは恒等的に0である。

よって、証明された。

(証明(?)終)

 


問題3 閉区間[a,b]で連続な関数f(x)のとる値がつねに有理数だけならば、f(x)[a,b]で定数関数であることを証明せよ。

【証明】

f(x)[a,b]で定数関数でないとする。

つまり、c∈[a,b]f(c)≠f(a)とする。

f(c)>f(a)とすると、問題の条件より、a≦x≦cで関数f(x)は連続だから、中間値の定理より

  

のすべてのβに対してβ=f(γ)となるγa<γ<cに存在する。

f(a)<β<f(c)を満たす無理数βを1つ取り出すと、β=f(γ)を満たすγa<γ<cに存在することになり、f(x)が常に有理数の値をとることと矛盾する。

この矛盾はf(x)[a,b]で定数関数でないと仮定したことに起因する。

よって、f(x)[a,b]で常に有理数の値だけをとるならば、f(x)[a,b]で定数関数である。

(証明終)


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