So-net無料ブログ作成

経済苦境のベネズエラ、外貨準備がデフォルトの危険水準に CNN [ネムネコの呟き]



世界最古の微化石を発見、38億年前の生命の痕跡か カナダ CNN [ネムネコの呟き]





アトピー性皮膚炎のかゆみ抑制 京大など新薬候補確認 日経 [ネムネコの呟き]




【ゆうゆうLife】改正道交法で認知症かどうか判定が厳格に 免許取り消しは10倍予想、どうする高齢者の移動手段 産経 [ネムネコの呟き]





小6女児が水泳の授業でプールに飛び込み頸髄損傷、学校は直後に救急車呼ばず 鳥取 産経 [ネムネコの呟き]





関数の連続の問題Part2 [ネコ騙し数学]

関数の連続の問題Part


問題1 [0,1]上の関数f

  

は、[0,1]の全ての点で不連続であることを示せ。

【証明】

a∈[0,1]とする。

aが有理数のとき、|x−aとなる正数δ>0にどのような小さい値をとっても、この近傍内に無理数がある。この近傍内の無理数xを一つ取り出すと

  

よって、有理数の点では不連続。

aが無理数のとき、aの近傍内の有理数xを1つ取り出すと

  

となるので、無理数の点でも不連続。

したがって、f[0,1]の全ての点で不連続である。

(証明終)

関数の連続の定義は

  

だから、関数の不連続の定義は、上の定義を否定すればよい。

  

これをヒトの言葉に翻訳すると、

ある正数ε>0があって、任意の正数δ>0に対して、「|x−a」で「|f(x)−f(a)|≧ε」であるxが(少なくとも1つ)存在する

くらいか。

上の問題1の解答の場合、任意の正数δ>0に対して、ε=1という正数εがあるので、関数fは点aで不連続ということになる。


うるさいことを言うと、a=0のとき、aの近傍を0≦x<δa=1の近傍を1−δ<x≦1とするなどと明言しないといけないのだろうが、このあたりは了解事項ということで省略した。



問題2 f[0,1]上の関数で、f(0)=1

  

である。

このとき、fxが無理数の点で連続、xが有理数の点で不連続であることを証明せよ。

【証明】

有理数c=p/qの点の近くには、無理数xが存在し、

  

だから、fは有理点cで連続でない。

つぎに、cが無理数の場合を考える。

任意の正数ε>0に対して

  

となる自然数nが存在する。

このnを固定し、

  

とすると、この集合の要素(元)は有限個、つまり、有限集合。

このと点cとの最短距離をδとする。

数学の記号が好きなヒトは

  

などと書く。

x−c<δ/2のとき、

xが無理数の場合

  

xが有理数の場合、x=p/qとすると、だからq>n

よって、

  

となり、無理数の点cで連続である。

(証明終)


たとえば、ε=1/3のとき、n=4とすると、

  

である。

  

となる。

たとえば、無理数の点x=1/√2の場合、xと集合E₃の最短距離はx=2/3のときで、最短距離δ

  

1/√2≒0.7071だから、たとえば、q=10p=7とすると、

  

となるので、q>nqの値として10をえらび、p=7とすると

  

となり、条件を満たしている。

これはあくまで一例に過ぎず、q=1000p=707としてもよい。

このときは、

  

となる。

自然数に最大数はないから、どんな小さなεに対しても

  

となる自然数nが存在し、このnに対する集合をつくり、無理数の点cとの最短距離δを求めて同様の操作を施せば、

  

にすることができる。

 


タグ:微分積分