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2次精度のルンゲ=クッタ法 [ネコ騙し数学]

2次精度のルンゲ=クッタ法


αβを適当に選ぶと、所定の誤差の範囲で、における定積分を

  

と近似できるものとする。

微分方程式は

  

よって、

  


ところで、を点でテーラー展開し、で打ち切ると

  

また、

  

だから

  

よって、

  


一方、同じくテーラー展開し、1次で打ち切ると

  

(2)と(3)を(1)に代入すると、

  

だから、

  


以上のことまとめると、

  


これが2次精度のルンゲ=クッタ法と呼ばれるものであり、その導出の流れるになる。


これをコンピュータや手計算で近似計算する場合、次のようにすればよい。


2次精度のルンゲ=クッタ法

  


修正オイラー法は

  


2nd_R-K_VS_IE.png2次精度のルンゲ=クッタ法と修正オイラー法を用いて次の微分方程式を数値的に解いた結果は次の通り

  
この結果から、2次精度のルンゲ=クッタ法と修正オイラー法の精度が同程度であることが理解できると思う。