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数値積分 台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差 [ネコ騙し数学]

数値積分 台形公式、中点公式とシンプソンの公式の導出と誤差


次の定積分を考える。

  

これは、x=t+aと変数の変換を行えば、dx=dtでかつ、x=aにはt=0x=a+hにはt=hが対応するので、

  

になる。

関数f(x)が何度でも微分可能、つまり、級であるとき、f(a+t)は次のようにテーラー展開することが可能。

  sekibun-gosa-01.png

あるいは、

  

(2)を(1)に代入すると

  

総和記号Σの中は
  sekibun-gosa-03.png

したがって、

  

ここで、

  

と前進差分を使うと、
  

a+h=bと置けば

  sekibun-gosa-05.png

したがって、

  

と、それを台形で近似した

  

との誤差は程度ということになる。


そして、この結果を用いて、

  

という台形公式の誤差の限界公式を導くことができる。

より厳密な議論は、たとえば、ねこ騙し数学の次などを見て欲しい。


台形公式の精度を求める問題


積分区間[a,a+h]の中点をcとし、x=t+cという変換をすると、dx=dtで、x=aにはt=−h/2x=a+hにはt=h/2が対応するので、

  

f(c+t)をテーラー展開すると

  

(4)に(5)を代入すると、nが奇数のとき

  

nが偶数のとき

  

になるので、
  

になる。

sekibun-gosa-fig-01.pnga+h=bとおくと、

  

だから、

  

そして、

  

と近似する方法を中点公式と呼ばれる。


上の議論から、中点公式の誤差は

  

程度で、誤差のオーダーはである。

[a,b]f(x)>0のとき,

  

は長方形DEFGの面積。

また、

  sekibun-gosa-07.png

として、(6)式に代入すると、

  

これから、シンプソンの公式の誤差が

  

程度で、シンプソンの公式の誤差がh⁵のオーダーであることが分かる。

シンプソンの公式は

  sekibun-gosa-09.png

で、(8)式と

  

とでは、右辺の分母が36と異なっているが、これは(8)式ではb−a=2hとしているのに対して、(9)式ではb−a=hとしていることに由来する。

(9)式の形で(8)式を書きなおすとき、h2hに変えれば良いので、次のようになる。

  


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