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リストは、オペラも作曲していたのか・・・。知らなかった。

オペラではありませんが、ダンテの『神曲』を題材にした『ダンテ交響曲』を紹介します。



リストは、音楽史において非常に重要な作曲家であるにもかかわらず、日本では今ひとつ人気がないよね。
人気がないだけではなく、ピアノ曲以外にこのように劇的な大曲を作曲していたことを知るヒトは、日本のクラシックのファンにほとんどいないと思うにゃ。


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ニュートン法 [ネコ騙し数学]

ニュートン法

Newton-method-01.pngf(x)を微分可能な関数とする。

方程式

  

の解をx=αとする。

右の図のように適当な点x₁を選び、y=f(x)の点(x₁,y₁)における接線の方程式は

  

で、この接線とx軸との交点のx座標x₂は、上の式にy=0を代入することによって、

  

となる。

そして、同様ににおける接線の接線を引き、この接線とx軸との交点のx座標x₃を求めると、

  

となり、この操作を繰り返せば繰り返すほど、こうして求められたf(x)=0の近似値である

f(x)=0の解、x=αに近づいてゆくことが予想される。


これがニュートン法である。

漸化式の形で書けば、ニュートン法は次のようになる。

  


Newton-method-tab-01.pngx=√3の近似値をニュートン法を用いて求めることにする。

x=√3の両辺を2乗すると

  

これを

  

とおき、f(x)=x²−3=0x>0)とすれば、これはx=√3と同値。

f'(x)=2xだから、

  

計算開始のx₀=1として、表計算ソフトを使って計算したものは次の通り。

4、5回計算するだけで、x=√3≒1.732050808という近似値に到達している。


ニュートン法は前回の2分法よりも速く、しかも急速に収束することがわかると思う。


ただし、ニュートン法は、次の例のように、収束しないことがある。

  

計算の初期値としてx₀=1、または、x₀=2を取ると、

接線の方程式が、それぞれ、

  

となり、x=1x=2を交互に永遠に行き来する。

Newtonhou-02.png

この他にも、f'(x)=0になる点に差し掛かったとき、ゼロ割が発生するなど、危険な一面も有している。

こういうことは極まれにしか起きないけれど、運悪くこのような事態に遭遇することがある。

2分法と比較すると、ニュートン法は収束の速度は速いけれど、安定性に欠ける。


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