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上限と下限 [ネコ騙し数学]

上限と下限


§1 上界と下界

Aを実数Rの空でない部分集合とする。

α∈Rが、任意のx∈Aに対し、α≧xであるとき、αA上界という。

β∈Rが、任意のx∈Aに対し、β≦xであるとき、βA下界という。

Aの上界(下界)が存在するとき、A上に有界下に有界)であるという。Aが上に有界かつ下に下界であるとき、A有界であるという。


例1 空でない実数Rの部分集合

  

があるとする。

α≧1の実数αに対して、任意のx∈Aα≧xだから、αAの上界で、1Aの最小の上界である。

β≦0の実数βに対して、任意のx∈Aβ≦xだから、βAの下界で、0Aの最大の下界である。

また、Aは上に有界でかつ下に有界だから、Aは有界である。


§2 上限と下限

空でない実数Rの部分集合Aが上に有界(下に有界)ならば、Aの上界(下界)の全体集合Bには最小数(最大数)が存在する。

Aの上界の最小数をA上限といい、sup Aあるいはであらわす。

Aの下界の最大数をA下界といい、inf Aあるいはであらわす。

Aが上に有界(下に有界)でないとき、sup A=+∞inf A=−∞とあらわす。


定理1

sup A=αである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してx≦α、かつ、任意の正数ε>0に対してα−ε<xを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

  

inf A=βである必要十分な条件は、任意のx∈Aに対してβ≦x、かつ、任意の正数ε>0に対してx<β+εを満たすx∈Aが存在することである。

すなわち、

  



定理2

A⊂Bならば、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup B

【証明】
inf A ≦ sup Aは、上限・下限の定義よりあきらか。

sup A=αsup B=βα>βとする。

  

とおくと、αAの上限だから

  

となるx∈Aが存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≦βとなり、矛盾する。

よって、α≦βで、sup A ≦ sup Bである。

inf A=αinf B=ββ>αとする。

  

とおくと、αAの下限だから

  

となるx∈Aに存在する。

x∈Aならばx∈Bだからx≧βとなり、矛盾する。

よって、β≦αで、inf B ≦ inf Aである。

(証明終了)


例2

  

とすると、A⊂B

このとき、inf A = 0sup A = 1inf B = −1supB = 2だから、inf B < inf A < sup A < sup Bとなり、inf B ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。

A⊂Cで、inf C=0sup C=1だから、inf C = inf A < sup A = sup Cとなり、inf C ≦ inf A ≦ sup A ≦ sup Bが成立している。


問 開区間I=(a,b)とするとき、inf I = asup I=bであることを示せ。

【解】

開区間I=(a,b)

  

だから、任意のx∈Iならば、a<xかつx<b

したがって、aは集合Iの下界、bは集合Iの上界である。

inf I=α<aとする。

  

とすると、定理1より

  

となり、αIの下限であることに反する。

したがって、inf I=aである。

sup I= β>bとする。

  

とすると、

  

となり、βIの上限であることに反する。

したがって、sup I=bである。

(解答終了)

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