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上限と下限の問題 Part2 [ネコ騙し数学]

上限と下限の問題 Part2


問題1

  

とするとき、sup Ainf Amax Amin Aを求めよ。

【解】

kyokugen-graph-02.pngnのときの集合Aの要素を

  

とおく。

nが偶数、n=2kk=1,2,…)のとき

  

は単調増加列で

  

nが奇数、n=2k−1(k=1,2,…)のとき

  

は単調減少列で

  

したがって、sup A = 1/2inf A = −1/2max AminAは存在しない。

(解答終了)


問題2 数列に関して次のことを証明せよ。

  

【解】

(1) すべてのn∈Nに対して

  

したがって、は数列の上界。

よって、

  


(2) すべてのn∈Nに対して

  

よって、は数列の下界。

したがって、

  

(解答終)

等号が成立しない例として、一般項が

  

である数列があげられる。

このとき、

  

だから、

  

一方、

  

この場合、

  

である。

(解答終)


問題3

ABを実数Rの空でなく有界な部分集合として

  

とおく。次を証明せよ。

sup C = sup A + sup B

【解】

sup A=αsup =βとおく。

任意のx∈Aに対してx≦α、任意のy∈Bに対してy≦β

したがって、任意のx+y∈Cに対して、

  

よって、α+βは集合Cの上界

また、αAの上限だから任意の正数ε>0に対して

  

となるx∈Aが存在する。

βBの上限だから任意の正数ε>0に対して

  

となるy∈Bが存在する。

よって、任意の正数ε>0に対して

  

となるx+y∈Cが存在し、α+βCの最小の上界。

よって、

  sup C = sup A + sup B

である。

(解答終)


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