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第2回 定積分の定義に基づいた計算例 [ネコ騙し数学]

第2回 定積分の定義に基づいた計算例


定積分(リーマン積分)の定義を最初に示す。


(リーマン)積分の定義

関数f(x)は有界閉区間[a,b]で有界とする。

任意の分割Δとそのそれぞれのの任意のに対して

  teisekibun-02-siki-01.png

であるとき、関数f(x)[a,b]で積分可能といい、

  teisekibun-02-siki-02.png

とあらわす。


なお、ここでいう分割とは

  

のことで、以降

  

と略記することにする。

 


問1 定数関数f(x)=cは、任意の有界閉区間[a,b]で積分可能で

  

であることを示せ。

【解】

分割を任意にとると

  

となり、分割やのとり方にかかわらない定数である。

したがって、
  teisekibun-02-siki-04.png

となり、f(x)[a,b]で積分可能で、

  

である。

(解答終)



問2(ジャンプする関数)

関数f(x)[a,b]で定義された関数、さらに、c>0で、a<d<bとする。

このとき、

  

[a,b]上で積分可能で

  

であることを示せ。

【解】

分割を任意にとると

  

中の0でないのは、最も多くて、のときに、とした場合。

したがって、
  

Δ|→0のとき2cΔ|→0だから、ハサミ打ちの定理より

  

となり、[a,b]f(x)は積分可能で、

  

である。

(解答終了)


前回、x∈[0,1]で定義される次の関数

  

が(リーマン)積分可能でないことを示したが、問2のように不連続な関数であっても積分可能な場合がある。

問3 0≧a<bとする。このとき、[a,b]上の関数f(x)=x²[a,b]で積分可能で、

  

となることを示せ。

【解】

分割を任意にとると

  

[a,b]で定義された関数g(x)=x²/3とすると、g(x)で連続、で微分可能だから、平均値の定理より

  

となる、が存在する。

このという特別な点を選び、このリーマン和を求めると

  

となる。

  

f(x)=x²で単調増加だから

  

また、だから、

  

で、|Δ|→0のとき(b²−a²)Δ|→0だから、

  teisekibun-02-siki-09.png

となり、 f(x)=x²[a,b]で積分可能、そして、

  

である。

(解答終)