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「スマート」性玩具で個人情報を無断収集、加企業が賠償金支払いへ AFPBB [ネムネコの呟き]





今日のクラシック、シャルパンティエの『レクイエム』とハインリヒ・ビーバーの『レクイエム』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、マルカントワーヌ・シャルパンティエ(1643〜1704年)の『4声のレクイエム』とハインリヒ・ビーバー(1644〜1704年)の『レクイエム』です。

シャルパンティエとビーバーは、同年代のバロックの作曲家。シャルパンティエはフランス、ビーバーはオーストリアの作曲家。
同時代のバロック期の作曲家であるけれど、フランス・バロックとオーストリア・バロックの違いが現れていて、この二人の作曲のレクイエムを対比して聞くのは、それなりに意義のあることなのではないか。

シャルパンティエ作曲『4声のレクイエム』



ビーバー作曲『レクイエム』



シャルパンティエは、レクイエムなどの宗教音楽以外にも世俗的な曲も多く作曲している作曲家のようで、非常に美しい曲。美しくて耳触りがよく聞きやすい曲のようだけれど、劇的な音楽的展開がなく全体的に大人しめであっさりした曲なので、聞き終わったとき、「美しい、綺麗な曲だったな〜 ♪」くらいの印象しか、私には残らなかった。
美しい旋律と響きにあふれているので、聞いている時には曲に引き込まれるのだけれど、聞き終わったときに、意外に何も残っておらず、音楽的な充実感を得ることができなかった。
曲が終わったとき、「なんだ、もう終わったのか」と思ってしまった(^^ゞ

対して、ビーバーの『レクイエム』は、美しいだけではなく響きが重層的で分厚く、シャルパンティエのそれと比較すると劇的な展開が見られ、曲を聞き終わったとき、強い音楽的充実感と満足が得られた。

もっとも、ネムネコは、ドイツ・オーストリア音楽を好んで聞き、ドイツ・オーストリア音楽に洗脳されているので、このように感じるだけかもしれない。フランスのクラシックの作曲家の曲を好んで聞く人は、私とは違った印象を持つのかもしれないし、音楽的志向性の違いだけなのかもしれない。
この可能性は否定できないように思う。

ではあるが、フランス・バロックとオーストリア・バロックの違いを知るのに、この2人のレクイエムを対比して聞くことは、それなりに意義のあることではないだろうか。


タグ:クラシック
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定積分の第2回のおまけ [ネコ騙し数学]

定積分の第2回のおまけ


問題 b>aのとき、定積分の定義にしたがって

  

であることを示せ。

【解】

有界閉区間I=[a,b]Iの任意の分割をとし、

  

に対して・において平均値の定理を適用すると

  

このを選んで、リーマン和を求めると

  

次に、任意のをとり

  

I上で単調増加で、かつ、だから

  

また、だから、

  

(解答終了)


上記の解答では

I上で単調増加で、かつ、だから

  

と関数f(x)の単調増加性を使っているが、f(x)の一様連続性を用いた証明も可能だろう。

f(x)は有界閉区間I上で連続だからI上で一様連続である

つまり、任意の正数εである任意のx₁x₂について

  

であるδ>0が存在する。

そこで、|Δである任意の分割Δについて考えると、f(x)I上で一様連続だから、任意のε>0に対して

  

したがって、である任意のについて

  

一様連続

fを区間Iで定義された関数とする。任意の正数ε>0に対して

  

が成立する正数δ>0が存在するとき、fI一様連続であるという。

たとえば、実数Rで定義されたf(x)=sin xという関数について考えると、

  

したがって、δ=ε>0とすると

  

が成立し、f(x)=sin xは実数Rで一様連続ということになる。


例 有界閉区間I=[0,1]で定義された関数f(x)=x²Iで一様連続。しかし、I=[0,∞)で定義された関数g(x)=x²Iで一様連続ではない。

f(x)が一様連続であることは、次のように示せばよい。

任意の正数εに対して

  

となるので、δ=ε/2とすれば、

  

g(x)[0,∞)で一様連続でないことは、たとえば、次のように示せばよい。

  

のようにx₁x₂をとると、

  

また、

  

だから、正数δをどんなに小さくとっても

  

で、2より小さくならない。

よって、g(x)は一様連続ではない。


一様連続の定義は

  

だから、一様連続でないことの定義は、上の否定をとり

  

これを人間の言葉に訳すと

「ある正数ε>0と、あるx₁,x₂∈Iがあって、どんなにδ>0を小さくしても、

  

である。

 


定理

fが有界閉区間Iで連続ならば、fIで一様連続である。

上の定理の証明にはハイネ・ボレルの被覆定理などを必要とするので、ここでは証明はしない。


例2

  

は、(0,1]で一様連続でない。

  

とすると、x₁∈(0,1]x₂∈[0,1]

  

しかし、

  

だから、

  

にならない。

つまり、f(x)=1/xは有界な半閉区間(0,1]で一様連続でない。


上の定理で、有界な閉区間という条件が重要であることがわかってもらえたのではないか。


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