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ということなので、今日のアニソンは、この曲を。



さらに、この曲、この動画を♪




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第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理 [ネコ騙し数学]

第4回 過剰和と不足和、ダルブーの定理


リーマン和はに基づき定積分を定義する場合、有界閉区間I=[a,b]のすべての分割

  

の任意のについて

  teisekibun-04-01.png

が、|Δ|→0のときに1つの値に収束することを示さないといけない。これは大変なので、あらたに次の不足和、過剰和を定義することにする。


teisekibun-graph-01.png定義

fを有界閉区間[a,b]で定義された有界関数とする。[a,b]の分割とおく。分割Δに対してとおくとき、

  teisekibun-04-02.png

を、それぞれ、f(x)Δに関する不足和過剰和という。


だから

   teisekibun-04-06.png

であり、したがって

  

が成立する。

Iの分割にあらたな分点cを1つ追加した分割をΔ'とすると、このとき、となる区間が存在する。

分割の分割点を増やすと、過剰和は減少する。つまり、
   teisekibun-04-00.png

特に

  

である。

同様に、不足和は、分割の分割点を増やすと、増回する。つまり

  teisekibun-04-04.png

で、特に

  

である。

ΔΔ’を合せて得られる分割をΔ’’とすると、

  teisekibun-04-05.png

よって、s(Δ)は上に有界、S(Δ)は下に有界である。


ここで、あらたに上積分、下積分を定義する。


定義

関数fが有界閉区間I=[a,b]で有界であるとする。

過剰和S(Δ)について、すべての分割に関する下限

  

f(x)I上の上積分という。

不足和s(Δ)について、すべての分割に関する上限

  

f(x)I上の下積分という。

任意のΔΔ’について

  

が成り立つから、

  

である。

定理(ダルブーの定理)

有界閉区間I=[a,b]上の有界な関数f(x)に対して、f(x)の不足和s(Δ)、過剰和S(Δ)は|Δ|→0で収束して、
  teisekibun-04-08.png

である。

【証明】

  

を証明する。

だから任意の正数ε>0に対して

  

となる分割Δ₀が存在する。分割Δ₀の分点の数をnとする。

f(x)I=[a,b]で有界だから

  

とおく。

分割Δの小区間に対してとなる分点を1つ加えた分割をΔ₁とすると、

  

より
  teisekibun-04-08.png

である。

分割Δと分割Δ₀を合わせた分割をΔ’とすると、分割Δに高々n個の分点が追加されるだけだから、

  

そこで、

  

とおくと、|ΔとなるIの分割に対して、
  teisekibun-04-09.png

また、

  

より、
  

したがって、

  

が成り立つ。

についても同様。

(証明終)

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