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第6回 連続関数の積分可能性 [ネコ騙し数学]

第6回 連続関数の積分可能性


定理7 (有界閉区間上の連続関数の積分可能性)

関数f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であれば、f(x)I上で積分可能である。

【証明】

f(x)は有界閉区間I上で連続だから、f(x)I上で一様連続である。

したがって任意の正数ε>0に対して、ある正数δが存在して

  

ΔであるIの任意の分割をとると、におけるf(x)の振幅は

  

よって、
  teisekibun-06-02.png

したがって、

  

となり、f(x)I上で積分可能である。

(証明終)


定理8

関数f(x)g(x)が有界閉区間I上で連続で、

  

かつf(ξ)>g(ξ)となるξ∈Iが存在するならば

  

である。

【証明】

  

とすると、条件より

  

で、h(ξ)>0となるξ∈Iが存在する。

f(x)g(x)I上で連続だからh(x)I上で連続。

よって、ξ≠aかつξ≠bのとき、|x−ξh(x)>0である正数δが存在し、
  

ξ=aのとき、a≦x<a+δh(x)>0である正数δが存在し

  

ξ=bのとき、b−δ<x≦bh(x)>0である正数δが存在し

  

(証明終)

例 閉区間[0,1]で定義される

  

g(x)=0x∈[0,1])があるとする。

f(x)g(x)[0,1]上で積分可能で

  

つまり、有界閉区間I=[a,b]上で積分可能な関数f(x)g(x)の場合、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在するという場合でも

  

の等号を外すことはできない。

しかし、I上で連続な関数f(x)g(x)のとき、f(x)≧g(x)かつf(ξ)≠g(ξ)であるξ∈Iが存在する場合、(2)式の等号が外れて

  

となる。

有界閉区間I上で連続という条件のほうが、I上で有界かつ積分可能という条件よりも強い条件というわけ。



定理9 (積分の平均値の定理) 

f(x)が有界閉区間I=[a,b]上で連続であるとき

  

となるξが存在する。

【証明】

f(x)が定数関数であるときは明らか。

そこで、f(x)は定数関数でないとする。

f(x)I上で連続だから最大値Mと最小値mが存在する。
  

よって、中間値の定理より

  

となるξが存在する。

(証明終)



例2 f(x)g(x)はともにI=[0,1]上の関数で、f(x)=x

  

とする。

このとき、

  

f(x)[0,1]上で連続だから、ξ=1/2のとき

  

となり、上の定理が成立するけれど、I上で連続でないg(x)には

  

であるξは存在しない。

有界閉区間で連続という条件が積分可能性よりもかなり「強い条件」であることがわかってもらえるのではないだろうか。