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第9回 微積分の基本定理など [ネコ騙し数学]

第9回 微積分の基本定理など


定理12

関数f(x)が区間I上で連続であるとする。このとき、I上の関数F(x)に対して

(1) F(x)f(x)の不定積分である

(2) F(x)f(x)の原始関数である

は同値である。

【証明】

(1)⇒(2)

F(x)f(x)の不定積分とすると、

  

したがって、
  

f(x)Iで連続だから、積分の平均値の定理より

  

となるθが存在する。

したがって、

  teisekibun-09-02.png

(2)⇒(1)

F(x)f(x)の原始関数とすると、

  

また、f(x)の不定積分

  

とすると、

  

よって、

  

したがって、

  

となり、F(x)f(x)の不定積分である。

(証明終)


以上のことより、次の定理が成り立つ。


定理13 (微積分の基本定理)

f(x)が区間I上で連続とする。定点a∈Iと任意のx∈Iに対し

  

とおくと、F(x)Iで微分可能であり、

  

である。


さらに、次の定理。


定理14

f(x)が区間I上で不定積分をもつならば、その不定積分はI上で連続である。

【証明】

f(x)の不定積分をF(x)a∈Iとすると、

  

xIの端点でないとき、x∈[x−δ,x+δ]⊂Iとなる正数δ>0を選ぶと、f(x)[x−δ,x+δ]で有界だから、

  

となる正の定数Mが存在する。

そこで、0<h<δとすると、

  

δ<h<0とすると

  

したがって、

  

となり、連続である。

xIの端点であるときも同様。

(証明終)

 


定理15

f(x)[a,b]であるとする。F(x)f(x)の原始関数であれば、

  

である。

【証明】

f(x)[a,b]で連続でF(x)f(x)の原始関数だから、定理12よりF(x)f(x)の不定積分であり、

  

と表せる。

よって、

  

(証明終)

そして、これで、高校の定積分の公式

  

に結びついた。

 


『週刊新潮』の「トクホの大嘘」 スポンサーもへったくれもない告発には「文春砲」もかすむ 産経 [ネムネコの呟き]





総理夫人が、森友学園に100万円を寄付したのか。しなかったのか。たとえ渡したとして法的には何の問題もない。森友学園問題の核心は、国有地の売買に政治家の口利きがあったのかなかったのか、政治家にカネが渡っていたか否か。それに尽きる。
(中略)
 〈これがそんな国家も揺るがすような大事な話なの? 国有地の売却価格を八億円も安くしたと疑ってるけど、違うだろ。廃棄物を国が処理してると時間がかかっちゃうから、森友側が撤去する。その分の費用を差し引くって契約をしただけでさ。(中略)近畿財務局側はそこはきちっと処置してたし、騒ぐ必要なんかないぜ〉


だよね〜。
なのに、なぜ、この問題でここまで大騒ぎするのか、私にはまったく理解不能。



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