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微分の復習 [ネコ騙し数学]

微分の復習

 

§1 微分係数

 

定義

関数f(x)が点aの近傍で定義されていて、極限値

が存在するならば、f(x)は点aで微分可能という。このとき、この極限値

  

f(x)の点aにおける微分係数といい、f'(a)であらわす。

 

a+h=xとおけば、微分定数の定義式(1)は

  

とあらわすことができる。

 

f(x)が点aで微分可能である必要十分な条件は、点aの近傍で

  

と表せる一定の実数Aが存在することである。このとき、A=f'(a)である。

このことは、(3)式の両辺をh≠0で割ると

  

となることから明らかだろう。

 

例1 f(x)=x²は点aで微分可能である。

  

となるから、A=2aε(h)=hとおくと、

  

したがって、f'(a)=2aである。

f(x)=x³の場合、

  

だから、A=3a³ε=3ah+h²とおくと

  

したがって、f'(a)=3aである。

 

例1のf(x)=x³ε(h)を見るととわかるとおり、一般にε(h)hのみで定まらないことに注意。

 

定理(微分可能な関数の連続性)

関数f(x)が点aで微分可能ならば、f(x)は点aで連続である。

[証明]

x≠aのとき

  

だから、f(x)が点aで微分可能のとき


  

よって、f(x)が点aで微分可能ならば、f(x)は点aで連続である。

(証明終)

 

例2 関数f(x)=x|はx=0で微分可能でない。

何故ならば、

h>0のとき

  

h<0のとき

  

となるので、

  

は存在しないから。

つまり、上の定理の逆は成立しない。

 

上の定理の対偶をとると、「関数f(x)は点aで連続でないならば、f(x)は点aで微分可能でない」になる。つまり、f(x)は点aで不連続ならば、点aで微分不可能である。

 

例3

  

は、x=1で不連続だから、x=1で微分不可能である。

現に、
  

で、f'(1)は存在しない。

 

aで微分可能でなくても、

左側微分係数

  

右側微分係数

  

が存在することがある。

したがって、微分可能の定義より、f(x)が点aで右側および左側微分可能であってであるとき、f(x)は点aで微分可能である。

 

 

§2 導関数

 

開区間Iで定義された関数f(x)Iのすべての点で微分可能であるとき、f(x)Iで微分可能であるといい、

  

f(x)導関数という。

関数f(x)が開区間(a,b)上で微分可能でかつ点aで右側微分可能、点bで左側微分可能であるとき、f(x)は閉区間[a,b]で微分可能であるといい、

   bibun-siki-0001.png

とする。

 

 


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