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今日のクラシック、バッハ作曲『平均律クラヴィーア曲集第1巻』 [今日のクラシック]

バッハ時代の調律法と現代の平均律との音の響きの違いを体感できる動画を紹介していただいたので、ねむねこ幻想郷の皆さんにもご紹介します。


演奏は、(バッハの調律を現代に再現した(・・?)バッハ・レーマン、現代使われている平均律、そして、(バッハの時代の調律法の一つ)ヴェルクマイスター調律の順です。

こうやって聴き比べると、あきらかに、音の響き、和声の透明感が、現代の平均律とは違うケロ。
バッハ・レーマンとヴェルクマイスターの方が音が美しいにゃ。
世の中で平均律が使われるようになってきて、バッハが「澄んだ和音が永遠に失われた」と嘆いたことがよく理解できるにゃ。

ちなみに、演奏されている曲は、平均律クラヴィーア曲集第1巻の第1曲。

それはさておき、平均律クラヴィーア曲集第一巻全曲の演奏を、みんなでこれを聞くケロ。



ヴェルクマイスターとは?



バッハ・レーマン
http://www.kiyond.com/bach.html



タグ:クラシック
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今日のアニソン・アーカイブ 「金色のコルダ」から『Brand New Breeze』 [今日のアニソン・アーカイブ]

今日のアニソン・アーカイブは、アニメ「金色のコルダ」から『Brand New Breeze』です。


これぞ、(アニソンの)「神曲(かみきょく)」というべき曲だにゃ。
そして、クラシック的手法が使われているところが、この曲の特徴でもあるケロ。

「今日のアニソン・アーカイブ」で紹介する曲は、1日、1曲と決めているので、コレ以上は紹介しないにゃ。
このアニメのED曲を聞きたいというヒトは、ネムネコのアニソン専門ブログ「ねこ騙し数学」にある「今日のお休みソング」で紹介しておりますので、覗いてみてください。

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セイラ4 2章の続き4 [セイラ4]

 ご馳走

 

 あれほど不機嫌であったにもかかわらず、部屋に入った瞬間、ホトトギスの機嫌が直ってしまった。ホトトギスは、セイラの右肩の上で歓喜の舞を踊りながら「ご飯だ、ご飯だ。嬉しいな。ご飯だ、ご飯だ。嬉しいな」と欣喜雀躍した。その姿を見ながら、セイラは、取り敢えずホトトギスの機嫌が直ったのを喜び、それと同時に、「こんなに簡単に機嫌が直るのだったら、一体今までの騒ぎは何だったんだろう」と思った。そして、これからは食料でホトトギスの機嫌を取ろう、と決心した。

 セイラの「頂きます」の号令とともに、一行の食事が始まった。セイラは、猛烈な勢いでご馳走を貪っているホトトギスを横目に睨みながら、年上の女性らしくカイにこう尋ねた、

「この部屋、随分、高いんじゃない。カイ君、お金の方は大丈夫なの。それに、こんなご馳走頼んだりして、本当に、大丈夫なの。」

「さっき、言ったじゃない。この部屋を格安な料金で借りることが出来たって。グスタフ卿の口添えで、安く借りられたんだけどね。だから、心配することないよ。」

 カイの言うグスタフ卿とは、近衛部隊の司令官であり、王国の重鎮であった。そして、カイの下宿先の主であった。もっとも、カイの言う話は全くのでたらめであった。カイはグスタフ卿に何も告げずに屋敷を後にしたのだから。

 人の好いセイラは、カイのその話を聞いて、ようやく安心した表情を浮かべた。それでも、やはりお金のことが心配になるらしく、「でも、お金に困ることがあったら、遠慮しないで私に話してね。お金なら、宰相様から随分頂いたんだから」と付け足した。そして、カイが頷くのを見てから、ようやく食事に手を付け始めた。

 一方、その頃には自分の料理を全て平らげたホトトギスが、デザートを食べながら、セイラの様子を横目で窺っていた。セイラの目が自分から離れた瞬間、その隙を突いて、目にも留まらぬ速さでカイの料理を横取りし、それを自分の容器に移し替えた。そして、何事もなかったように、それを食べ始めた。

 最初の内は、いつものことであり、カイもさして気にも留めなかったが、次から次へと料理を奪うホトトギスにやがて業を煮やし、メインディッシュと言うべき魚料理にホトトギスが飛びついた瞬間、彼の体をその魚料理に押さえつけた。

「天罰だ。ざまあ見ろ。」

 カイの嘲笑う声を聞きながら、ホトトギスは魚料理の中で「何するんだ、この野郎」と呪詛の言葉を吐き、ばたばたと暴れ出した。その言葉を耳にし、セイラが彼の姿を見ると、「セイラ、カイが僕を苛めるよ。僕はお腹がいっぱいだから、これを上げるよ、というカイの言葉を信じて、僕が皿に近づくと、僕の体を捕まえて、魚料理に押しつけたんだ。止めるようにカイに言ってよ」とセイラに救いを求めた。

 確かに、状況はカイに不利であった。その場面だけを見れば、ホトトギスの言うことは筋が通っていた。しかし、セイラは即座にホトトギスを断罪した。

「あんた、また、カイ君の料理を取ろうとしたのね。どうして、いつもいつもそうなのよ。」

 ようやくカイの手から解放されたホトトギスは、体中にソースをつけながら、それでも、一向に懲りた様子もなく、カイの魚料理の皿をずるずると自分の方に引っ張って行こうとした。

「それ、カイ君のでしょう。どうして、あんたがそれを食べるのよ。」

 ホトトギスは、その言葉に恐れをなすかのように、それをカイに戻そうとした。

「こんな物を食べられるわけないじゃない。お前にやるよ。」

 彼の羽が至る所に散乱している料理を見て、カイが呆れた様子でそう言い放った。ホトトギスの作戦勝ちであったが、彼はちらりと横目でセイラを見た。セイラの呆れた顔を了承の意味に解釈して、彼はその魚料理を自分の方に引っ張っていった。そして、まず散乱した羽を集め、それを自分の体に戻し、その具合を確かめた後、両方の翼を胸の前で合わせて、「頂きます」と大きな声を上げ、今度は味わうようにゆっくりと食べ始めた。

「このお魚、美味しいね、セイラ。」

 セイラは、「そうね」と気のない返事をした後、メインディッシュである魚料理の半分を発育盛りのカイに渡した。

「駄目だよ、そんなことをしたら。小さいカイと違って、セイラは体を維持するのに、エネルギーが必要なんだから。」

 すかさず上がったホトトギスの言葉を、視線で抑えた後、セイラは忌々しそうに「全部、あんたのせいでしょうが。良くまあ、そんな口が利けるものだわ。開いた口が塞がらないわよ」と怒鳴りつけた。

「いやだなあ、そんなに誉めないでよ。恥ずかしいじゃない。」


リプシッツ連続と一様連続 [ネコ騙し数学]

リプシッツ連続と一様連続

 

Xを実数Rの空でない部分集合とし、fXからRへの関数とする。このとき、任意のx₁x₂∈Xに対して、あるK≧0が存在し、

  

であるとき、fXリプシッツ連続という。また、(1)式の定数Kリプシッツ定数と呼ぶ。

 

関数f(x)Xでリプシッツ連続であるとき、f(x)Xで連続であることは、次のように証明できる。

 

すべてのx₁x₂∈Xとする。

K=0のとき、(1)式より、

  

となり、f(x)は定数関数。よって、Xの各点で連続である。

K>0のとき、x₁を固定し、任意の正数に対して、δ

  

をとれば、

  

になるので、f(x)はすべてのx₁∈Rで連続である。

 

イプシロン・デルタ論法を使わずに、

  

と証明してもいいだろう。

 

また、このことから、関数f(x)がリプシッツ連続であれば一様連続であることがただちにわかる。

 

一様連続

fを区間Iで定義された関数とする。任意のε>0に対し、次の条件を満たすδ>0が存在するとき、fI一様連続であるという。

  

 

一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。

リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続

一般に、逆は成立しない。

 

一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。

 

定理

関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fIで一様連続である。

 

上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。

 

例1 f(x)=x²0≦x<∞)は一様連続でない。

とおき、δ=1/nとする。

  

このとき、

 

nを大きくし、δ>0を限りなく小さくして0に近づけても、つまり、x₂→x₁にしても、この場合、f(x₂)→f(x₁)にならない。よって、f(x)[0,∞)で一様連続ではない。

 

(注)

一様連続の定義は

  

したがって、一様連続でないは、上の否定

  

例1ではこれを使用している。

 

これを数学で使われる翻訳調日本語に訳すと、

一様連続でないとは、

あるε>0が存在し、任意のδ>0に対して、あるx₁x₂∈Iが存在し、

  

を満たすことである

とか(^^

 

また、次のように、区間Iが有界閉区間でなく、有界な開区間であっても、Iで連続な関数な関数がIで一様連続になることがある。

 

例2 f(x)=x²x∈(0,1))は区間(0,1)で一様連続である。

任意のx₁x₂∈(0,1)とする。

  

したがって、f(x)(0,1)でリプシッツ連続であり、一様連続である。

あるいは、任意のε>0に対して、δ=ε/2>0をとると、

  

よって、一様連続である。

 

次の例3のように、有界な区間でなくても、リプシッツ連続であり、一様連続になる場合もある。

 

例3 f(x)=sinx x∈(−∞,∞)) は(−∞,∞)でリプシッツ連続であり、一様連続である。

任意のx₁x₂∈(−∞、∞)とする。

  

したがって、sinxは、(−∞,∞)でリプシッツ連続であり、一様連続である。

あるいは、任意のε>0に対して、δ=ε>0をとると、

  

よって、一様連続である。

 

 

問1 平均値の定理を使って、

  

が成り立つことを証明せよ。

 

問2 f(x)=logx x≧1)は[1,∞)で一様連続か。

 

余力のあるヒトは、「f(x)=√x x∈[0,∞))は[0,∞)で一様連続でか」にチャレンジしてみるといいだろう。



問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のxy∈Iに対して

  

を満たせば、関数f(x)は定数である。

【解】

任意のxy∈Ix≠y)とする。

  Lipshitz-siki-001.png

したがって、fIで定数である。

(解答終)