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今日のアニソン・アーカイブ 「銀色の髪のアギト」から『愛のメロディー』 [今日のアニソン・アーカイブ]

今日のアニソン・アーカイブは、アニメ「銀色の髪のアギト」から『愛のメロディー』です。


1日、1曲だケロ。この大原則は絶対に破らない!!


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セイラ4 2章の続き7 [セイラ4]

 ホトトギスのような飲み方は人間には出来ないけれど、何かとホトトギスとの因縁の深いカイは、ホトトギスに挑発され、その挑戦を受けないわけにはいかなかった。彼は、グラスに口をつけると、一気にそれをあおった。いつもならば様々な罵倒の言葉を浴びせ掛けるホトトギスが、この時は、羽をうち交わして、カイに珍しく拍手喝采を送った。そして、「いい飲みっぷりだ。それでこそ、男だ」と言って、次々とカイに酒杯を勧めた。やがて正体を無くし、カイがテーブル上に突っ伏して寝息を立て始めると、ホトトギスは、酒の残ったボトルに栓をして、それを大切そうにポシェットに仕舞い込んだ。それから、空になったボトルをカイの隣に倒し、グラスに残った酒を蹴飛ばし、テーブルにぶちまけた。

「作戦成功。」

 ホトトギスは、すやすやと寝息に立てているカイの姿を暫く勝ち誇った様子で見てから、夜風に当たり酔い覚ましに外に出掛けた。潮風に当たりながら、西に傾きかけた月をぼんやりと眺めた。

「いい月だ。歌を詠まない手はないな。」

 ホトトギスは、そう呟くと、歌を作り始めた。歌の出来はともかく、ここの所、吸う息吐く息が歌になっていたホトトギスであったが、既に今晩は幾つも歌を詠んでいたために、これはという歌が出来なかった。

「うーん、これは困ったな。このままでは、天性の歌人と謳われる、ホトトギスの名折れだ。何としても、詠まなければ。」

 さらに頭を捻らせた。しかし、一向に閃かなかった。それでもなんかか捻り出した歌は、

 

 月影に あかねば往にし 水の端よ なみに濡れなば 袖も濡ちなむ

 

 業平、伊勢の御、さらに貫之の歌を合成したような、しかも、意味不明な歌を作ってしまった。それに恥じて、ホトトギスは、逃げ去るようにその場を後にして、部屋へと戻った。

 部屋に戻ると、セイラの眠る蒲団の中に潜り込み、彼女の胸の間に体をぴったりと密着させて、彼もまた静かな寝息を立て始めた。


第0回 方向微分と偏微分、そして、全微分 [ネコ騙し数学]

第0回 方向微分と偏微分、そして、全微分

 

§1 方向微分と偏微分

 

fの部分集合DからRへの写像(関数)とし、さらに、u=(h,k)とする。

tを変化させたとき、

  

の平均変化率は

  

をとり、t→0の時の(1)式の極限

  shine-siki-01.png

を考えると、これはベクトルu=(h,k)に沿っての変化率で、u=(h,k)に沿っての方向微分係数という。これを記号で表す。すなわち、

  shine-siki-02.png

である。

特に、u=e₁=(1,0)としたときの、e₁=(1,0)に沿っての方向微分係数

  shine-siki-03.png

は、ybに固定してxだけを変化させたときの変化率であり、関数fの点(a,b)でのxに関する偏微分係数といい、記号、などで表す。それ故、次のように表すことができる。

  shine-siki-04.png

u=e₂=(0,1)としたときの、e₂=(0,1)に沿っての方向微分係数

  

は、xaに固定してyだけを変化させたときの変化率であり、関数fの点(a,b)でのyに関する偏微分係数といい、記号、などで表す。同様に、

  shine-siki-05.png



問1 次の関数の点(0,0)における、xyの偏微分係数を求めよ。

  shine-siki-06.png

【解】

  shine-siki-07.png

(解答終)

 

1変数関数f(x)は、x=aにおける微分係数f'(a)が存在するならばx=aで連続であるが、2変数関数f(x,y)の場合、点(a,b)の偏微分係数が存在してもf(x,y)が点(a,b)で連続である保証はない。

たとえば、問1の関数f(x,y)は点(0,0)で連続でない。

 

 

§ 全微分

 

関数f(x)が点x=aで微分可能である必要十分条件は、

  

である。ここで、A=f'(a)であり、o(h)ランダウ記号(ランダウのスモール・オー)、すなわち、

  

である。

 

(8)式を2変数関数f(x,y)に拡張すると、

  

になるであろう。ここで、ABhkに無関係な定数であり、

  

である。

 

この関係式(9)が成り立つとき、2変数関数f(x,y)は点(a,b)全微分可能、あるいは、微分可能であるという。

 

f(x,y)が全微分可能であるとき、(9)式より、

  

となり、f(x,y)は点(a,b)で連続である。

 

定理

f(x,y)が点(a,b)で全微分可能ならば、f(x,y)は点(a,b)で連続である。

 

また、k=0とすると、(9)式は

  

となり、両辺をhで割りh→0の極限を求めると、

  shine-siki-09.png

である。

同様に、k=0とすると、

  shine-siki-10.png

よって、(9)式は

  

になる。

 

定理

f(x,y)が点(a,b)で全微分可能ならば、点(a,b)で偏微分可能で、

  

である。

 

次に、hkを定数とし、thtkを(10)式のhkと見なすと、(10)式は

  

となり、両辺をt≠0で割り、t→0の極限をとると、

  

これは、u=(h,k)に沿っての方向微分係数であるから、2変数関数f(x,y)が点(a,b)で全微分可能ならば、点(a,b)で任意のu=(h,k)に沿っての方向微分係数をもち、

  

が成り立つ。

 

以上のことから、f(x,y)が点(a,b)で(全)微分可能ならば方向微分可能であり偏微分可能である。


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