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曲率円(接触円)を求める [ネコ騙し数学]

曲率円(接触円)を求める

 

曲線y=f(x)上の点P(x₀,f(y₀))における曲線y=f(x)の曲率円(接触円)を求める前に、復習。

 

曲率円

曲線y=f(x)上の点P(x₀,y₀)において

  

 

で定まる円

を曲率円(接触円)という。

 

問題 次の曲率円を求めよ。

(1) 放物線y=x²上の点x=0x=1における曲率円。

(2) 双曲線y=1/x上の点x=1における曲率円。

(3) 曲線y=logx上の点x=1における曲率円。

【解】

kyokuen-graph-001.png(1) y=f(x)=x²だから、f’(x)=2xf''(x)=2

x=0ではf(0)=0f'(0)=0f''(0)=2

  

したがって、曲率円は

  

である。

kyokuen-graph-002.pngx=1では、f(1)=1f'(1)=2f''(1)=2

  

よって、x=1における曲率円は

  

である。

 

(2) y=f(x)=1/xだから、
  

x=1では、f’(1)=−1f''(1)=2

   

よって、x=1における曲率円は

  

である。


y=1÷x-en-graph-001.png

 

(3) y=f(x)=logxとおくと、
  

である。

x=1では、f(1)=0f'(1)=1f''(1)=−1

   

よって、x=1における曲率円は



y=logx-en-graph-001.png

(解答終)


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