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第21回 ベクトルを用いた連立常微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第21回 ベクトルを用いた連立常微分方程式の解法

 

次の連立常微分方程式について考える。

  21b-001.png

この連立常微分方程式の解がであるとし、①と②に代入すると、

  21b-002.png

だから、これで両辺を割ることができて、

  

という連立方程式が得られる。

行列と(縦)ベクトル

  21b-000.png

を用いて③式を書き換えると、

  21b-003.png

さらに、これを単位行列E

  

を導入し、式を変形すると、

  21b-004.png

すなわち、

  21b-005.png

もし、行列A−rEが逆行列をもつならば、

  

となり、連立方程式③の解はa=b=0になってしまうので、a=b=0以外の解をもつためには、行列A−rEが逆行列をもたない、つまり、その行列式

  

がでなければならない。

よって

  

そして、③式の第1式から、

r=1のとき

  

で、a=1にすると

  

r=3のとき

  

となる。

以上のことから、が基本解のセット、すなわち、この微分方程式の解ベクトルで、この微分方程式の解は

  21b-006.png

 

このように、行列の固有値とその固有ベクトルを用いて連立常微分方程式を解くこともできるというお話。

このあたりの正確な議論をするためには、線形代数の基礎知識を必要とするので、こういうふうに解くこともできるのだということ。

 

この連立微分方程式は、次のように簡単に解くことができる。

①+②

  

①−②

  

④+⑤

  21b-007.png

④−⑤

  21b-008.png

そして、ここで

  

とおけば、

  21b-009.png  

となり、同じ結果が得られる。

 

二元連立常微分方程式ならば行列の固有値とその固有ベクトルを用いた解法を使う必要はないけれど、三元、四元、それ以上の多元連立方程式を扱う場合、行列とベクトルを用いた解法は強力なツールになる。

 

問題 次の連立微分方程式を解け。

  

【解】

  とすると、


aba=b=0以外の解をもつためには

  

固有ベクトルは、①の第1式より、

r=1のとき

  

r=5のとき

  21b-020.png

a=1とおくと、21b-siki-102.pngが解ベクトルとなり、一般解は

  21b-017.png

(解答終)

 

【別解】

連立微分方程式が

の形に書き換えるとすると、

  

これを解くと、

α=−1β=5のとき

  21b-013.png

α=1/3β=1のとき

  21b-014.png

①−②

  21b-015.png

①+3×②

  21b-016.png

ここで、

  

とおけば、

  21b-017.png

【別解2】

とおくと、微分方程式は

  21b-siki-100.png

zを消去するために、①にD−4をかけると、

  

これに②を加えると、

  

よって、この特性方程式は

  

したがって、が基本解で

  

また、第1式より

  

よって、

  21b-017.png

(解答終)

 


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第20回 連立常微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第20回 連立常微分方程式の解法

 

例題 次の連立微分方程式を解け。

【解】

①から未知関数zを消去するために①を微分すると、

  

これに②のz'=y+xを代入すると、

  

非同次方程式を解くために、③の右辺=0とした同次形方程式

  

を解く。

上の同次形方程式の特性方程式は

  

したがって、④の基本解はであり、④の一般解は

  

また、④の特殊解は

  dai20b-siki-001.png

ここで

  

したがって、③の一般解は

  

また、①より

  dai20b-siki-002.png

よって、連立常微分方程式の解は

  

(解答終)

 

上の解答では、③の特殊解を用いるのに演算子Dを用いたが、特殊解をAx+Bと予測し、これを③式に代入すると、y''=0だから、

  

と特殊解を求めてもよい。

 

【別解】

①と②を足すと、

  

ここで、u=y+zとおくと、

  

両辺にをかけると、

  dai20b-siki-003.png

①と②の差をとると

  

③と④をyzについて解くと、

  

(解答終)

 

微分や積分という演算を含むけれど、普通の連立方程式の代入法、加減法のように解くことができる。

 

 

問題 次の連立微分方程式を解け。

【解】

(1) 第1式を微分すると、

  

第2式より

  dai20b-siki-004.png

この特性方程式

  

したがって、この微分方程式の基本解は

特殊解は

  

よって、

  

第1式より

  dai20b-siki-006.png

 

(2) 第1式を微分し、第2式を用いると、

  dai20b-siki-007.png

この微分方程式の特性方程式は

  dai20b-siki-008.png

よって、基本解は

特殊解は

  dai20b-siki-009.png

よって、

  

また、第1式より

  

(解答終)

 

 

微分演算子を含む多項式は、Dを定数係数のように計算することができるので、これを用いて例題の微分方程式を次のように解くこともできる。

 

問題2 次の連立微分方程式を解け。

  

【解】

D×①

  

zを消去するために、上式に②を加えると、

  

よって、この微分方程式の基本解はで、特殊解は

  

したがって、

   

(以下略)


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GPS衛星「みちびき」4号機 10月10日打ち上げへ NHK [今日のアニソン・アーカイブ]


アニメ「ふたつのスピカ」から『鯨』を♪


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第19回 級数を用いた微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第19回 級数を用いた微分方程式の解法

 

かりに次の微分方程式があるとする。

  

もしこの微分方程式の解が

  

と、べき級数で表され、さらに、項別微分が可能、すなわち、

  dai19b-siki-001.png

であるとすれば、(1)式は

  

となり、べき級数の係数を比較すると

  

という漸化式が得られ、さらに初期条件y(0)=1より

  

したがって、漸化式から

  dai19b-siki-002.png

となり、

  

が得られる。

(2)のべき級数(マクローリン級数)は、

  

であり、(1)の解と一致する。

 

ちなみに、(2)のべき級数の収束半径Rは、

  

 

参考までに、次の定理を。

 

定理

整級数の収束半径をR>0とすると、この整級数で定義された関数fは、−R<x<Rで微分可能で、項別微分が可能である。すなわち、

  

である。

 

 

問題1 次の微分方程式の解を求めよ。

  

【解】

とし、項別微分が可能であるとする。

  dai19b-siki-003.png

だから、これを微分方程式に代入すると、

  

これがすべてのxについて成立するから、

  

また、初期条件より

  

したがって、

  

nが奇数のとき、すなわち、n=2m+1m=0,1,2,・・・)のとき、

  

nが偶数のとき、すなわち、n=2mのとき

  

よって、

  

したがって、

  dai19b-siki-006.png

(解答終)

 

 

問題2 次の微分方程式の与えられた初期値をもつべき級数解を、はじめの0でない3個まで求めよ。

  

【解】

  

とおくと、

  

初期条件y(0)=0よりa₀=0

また、初期条件y(0)=0より

  

①と②を微分方程式に代入すると、

  

xの項を比較すると、

  

したがって、

  

の項を比較すると、

  

よって、

  

(解答終)


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今日のクラシック、アンリ・デュティユ作曲 交響曲第1番 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、前回にひき続いて、フランスの現代音楽の作曲家、アンリ・デュティユ作曲の交響曲第1番です。


ネットで少し調べたところ、この曲に関する記事を見つけられなかったので、ネムネコの秘密の情報源から記事を引用することにする。

古典的な交響曲にはかならずソナタ形式の楽章がありますが、このソナタ形式というのは、調性の存在が重要な前提で、無調の現代音楽の時代になって、その意味が見直されなければならなくなりました。それでデュティユは、第1主題、第2主題という対立的、弁証法的な相克ではなく、単一の主題から生成させるために、変奏曲形式を応用しました。第1楽章は「パッサカリア」、第2楽章は「スケルツォ」、第3楽章は「間奏曲」、第4楽章は「変奏曲を持つフィナーレ」です。
ネムネコ秘密の情報源

ネムネコ秘密の情報源の引用にあるように、この交響曲の第1楽章はソナタ形式ではなく、バロック音楽でよく用いられたパッサカリアという形式で、交響曲の第1楽章としては非常に珍しい音楽形式。


バッハの『パッサカリアとフーガ』と比較すれば、パッサカリアという古典的な形式を踏襲しているけれど、それを現代的に拡張した別なものになっていることがわかると思う。
さらに、比較のために、新ウィーン楽派の一人、ウェーベルンのパッサカリア。


温故知新というわけではないだろうが、古典期に確立したクラシックの音楽技法から離れ(るために)、バロック、それ以前の音楽形式をもとにして新しい音楽を創造するということを現代音楽の作曲家はしたりするので、実は珍しいことではないのかもしれない。

形式的には、1楽章よりも2楽章のスケルツォの方がより伝統的で保守的のように思う。ではあるが、非常に激しく、そして、緊張感に満ちた厳しい音楽。一応、三部形式になっていて、中間部は比較的穏やかだけれども、普通、中間部はもっと穏やかで優しい曲調になるように思うが、中間部も嵐のような速度で一気に駆け抜けるように感じられ、聞いていて「これはスケルツォなのだろうか」という疑問に襲われた。しかし、私はこの曲の中でこのスケルツォが一番好きで、一番できているように思う。

3楽章は、嵐のような2楽章とは打って変わって神秘的な音楽になっているようだ。音の響きなど随分と工夫しているのだろうが、全体的に漫然としているようで、聞いていてやや退屈してしまった。これは、まったく、私の音楽的な好みの問題だ。なんたって私は、ホルストの『惑星』の場合、火星と木星くらいしか聞くことが出来ず、この2曲以外不要だと思っているのだから(^^ゞ


4楽章は、3楽章の静から再び動に戻る。なのだけれど、1楽章、2楽章と比較すると、全体的に統一感と緊張感を欠いているように思え、やや不満に思った。
音楽を単なる綺麗事ではすませなくなってしまった現代において、交響曲のフィナーレの作曲は、作曲者にとって難しいものなのかもしれない。

交響曲、特に4楽章形式の交響曲は過去の遺物で、もはや現代にそぐわない、時代遅れの音楽的形式なのかもしれない。


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同次関数とオイラーの定理 [ネコ騙し数学]

関数f(x,y)が任意の実数xytに対して

  

が成り立つとき、f(x,y)m同次関数という。

 

fが1変数関数の場合は、

  

2変数以上の関数の場合は

  

である。

 

たとえば、

  

という関数があるとする。

このとき、

  

が成立するので、これは1次の同次関数である。

また、

  

とすると、

  

が成立するので、これは2次の同次関数である。

 

また、f(x,y)g(x,y)を1次の同次関数とすると、

  

となるので、1次の同次関数の和は1次の同時関数である。

このことはほとんど明らかであるが、さらに、αを実数とすると、

  

が成立し、関数fの実数倍も1次の同次関数である。

 

 

問題1 f(x,y)m次同次関数、すなわち、

  

が成り立つとき、次の問に答えよ。

(1) 

(2) f級で

  

を満たすならば、fm次同次関数である。

【解】

(1)

  

また、

  

だから、

  

よって、

  

t=1とすると、

  

である。

 

(2) とおきtで微分すると、

  

よって、φ(t)tについて定数。

したがって、

  

(解答終)

 

問題1の(1)をオイラーの定理といい、(2)はオイラーの定理の逆である。

 

 

問題2

(1) m次同次関数z=f(x,y)において、とすると、が成り立つことを示せ。

(2) (1)の結果を用いて、0次同次関数は、なる形をもつことを示せ。

【解】

(1)

  

z=f(x,y)m次同次関数だから、問題1より

  

したがって、

  

である。

 

(2) z=f(x,y)0次同次関数だからm=0

したがって、

  

したがって、zだけの関数、つまり、y/xだけの関数となる。

よって、

  

(解答終)

 

なぜ、次の形の微分方程式を同次形というのか、その理由がわかってもらえるのではないだろうか。

  


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第17回 積分因子2 [ネコ騙し数学]

第17回 積分因子2

 

問題1 微分方程式

  

について、次の問に答えよ。

(1) dai18b-siki-001.pngのとき、は積分因子。ただし、t=x+y

(2) dai18b-siki-002.pngのとき、は積分因子。ただし、t=xy

(3) dai18b-siki-003.pngのとき、は積分因子。ただし、t=x²+y²

【解】

λを微分方程式

  

の積分因子とすると、

  

は完全形。

したがって、

   dai18b-siki-004.png

でなければならない。

 

(1) 積分因子λt=x+yだけの関数

  

とすると、

  dai18b-siki-005.png

①に代入すると、

  dai18b-siki-009.png

C=1とすれば、

  

が得られる。

 

(2) 積分因子λt=xyだけの関数

  

とすると、

  dai18b-siki-006.png

①に代入すると、

  dai18b-siki-007.png

C=1とすれば、

 

(3) 積分因子λt=x²+y²だけの関数

であるとすると、

  dai18b-siki-008.png

これを①に代入すると、

  dai18b-siki-010.png

C=1とすれば、

  

を得る。

(解答終)


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今日のクラシック、ラザール・ベルマンの弾くクレメンティ作曲・ピアノソナタ第2番ロ短調 作品番号40 [今日のクラシック]

今日のクラシック、ラザール・ベルマンの弾くクレメンティ作曲『ピアノソナタ第2番ロ短調 作品番号40』です。


ネムネコはピアノだけの曲はあまり好きでない――ハッキリ言ってキライ!!――なので、ベートーヴェンをはじめに有名どころの作曲家、または、有名なピアノ曲程度しか聞かない。だから、この作曲家の名前くらいは知っていたけれど、ムツィオ・クレメンティ―のピアノ曲はほとんど聞いたことがない。NHKのFM放送などで聞いたことはあるかもしれないけれど、この作曲家のピアノ曲はまったく知らない(^^ゞ。なのですが、ちょっと、今日、クレメンティのピアノ曲を少しだけ聞く機会があって、なかなかスゴイ作曲家ではないかと思い、YouTubeでこの作曲家のピアノ・ソナタを検索したところ、たままた、ベルマンの弾くこの演奏を発見した。

ベルマンはリストなどの超絶技巧の曲をバリバリと弾きこなすヴィルトゥオーゾである、あったという知識はもっているけれど、このピアニストの演奏を聞いたことはほとんどない。
ということで、「どんな演奏をしているのだろう」と思い、聞いてみた。
好みはわかれるとは思いますが、なかなかの演奏じゃないですか。すごいケロ、と思った。

そう思っていたところ、ベルマンの演奏が終了し、自動再生されたホロヴィッツのクレメンティのピアノソナタを聞き、度肝を抜かれた。


「オレはこれまでこんな素晴らしい演奏を知らずに生きてきたのか」と、思わず、大きなため息をついてしまった。
ロシア出身のピアニストだからテクニックが優れているのは言うまでもなく、1楽章、3楽章の張り詰めた緊張感、そして、ヒトを惹きつけてやまない演奏の求心力は凄いね。
ホロヴィッツとベルマンとではタイプが違うので、また、スタジオ録音とライブ音源との違いもあって、単純な比較はできないけれど、このホロヴィッツの演奏を聞いたら、先に紹介したベルマンの演奏は霞んで聞こえてしまうようだ。
この録音は、凄いの一言に尽きるね。

古い録音なので、音質的には不満が残るだろうけれど、そんな不満をすべて吹き飛ばしてしまう歴史的な録音だと思うね、これは。

なお、たいしたことは書いていないけれど、作曲家であるクレメンティについて知りたいヒトは、例えば、以下のウィキペディアの記事などを参考にして欲しい。
https://goo.gl/6Fzs5Q

ウィキペディアに

ベートーヴェンは、ピアノ曲に関してはモーツァルトの作品よりもクレメンティの方がピアニスティックで素晴らしいと評価している。

と書いてあるように、古典派というよりも初期ロマン派的な、魅力にあふれる曲だと思う。
ここにある「ピアニスティック」という言葉がいいね。モーツアルトのピアノ曲は、基本的に曲の作りが単純だからね〜(^^)。


タグ:クラシック
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18歳の藤田真央さん優勝 スイスのハスキル国際ピアノコンクール 日本人3人目  産経 [今日のクラシック]


日本人が優勝できる程度のコンクールだし、歴代の優勝者を見てもいまひとつパッとしたヒトが出ていないようだし、また、日本のマスメディアの誇大宣伝(・・?

YouTubeには、今回、このコンクールで優勝した藤田麻央の演奏の動画が幾つかアップされているようだにゃ。


ちょっと聞いたところ、このヒトもTastenkastenさんのいう「清潔なテクニック」を身につけているようだにゃ。ダイナミズムは感じさせるけれど、18歳(この動画がアップされたときは16歳(・・?)の若手だからこれは致し方ないのだろうけれど、表面的な演奏といった感。ところどころ、ハッとさせる聞かせどころはあるようだけれど、この演奏を聞いた限り、ネムネコはそれほど魅力を感じない。
だから、今後の成長に期待ということにしておこう♪


こちらは、昨年行われた、若手音楽家を対象とした何とかコンクールの第2予選の演奏のようだけれど、正直、この程度の演奏ならば「聞かなくていいわ。聞くのは時間の無駄!!」といった感が・・・。
これは日本人のクラシックの演奏家によく見られることだけれど、このヒトもまた表現者として最も大切な何かが欠落しているようだにゃ。
このことは日本の音楽教育に起因することなのか、はたまた、いまだ日本人がクラシック音楽を我がものとして消化吸収できていないために発生する事象なのだろうか(・・?

それはそれとして、聞き所は派手な強奏の部よりも音の弱いところ、弱奏部にあるようだにゃ。


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第17回 積分因子 [ネコ騙し数学]

第17回 積分因子

 

次の全微分方程式があるとする。

  

この全微分方程式は、

  

とおくと、

  dai17b-siki-006.png

だから完全形ではない。

しかし、(1)式の両辺にxyをかけると

  

となり、P=xQ=yとおくと、

  

が成立し、完全形の微分方程式にすることができる。

ちなみに、(2)式の解は

  

 

 

定義

完全形でない全微分方程式

  

に適当な関数λ(x,y)≠0をかけて得られる

  

が完全形であるとき、λ(x,y)Pdx+Qdy=0積分因子または積分因数という。

 

先にあげた例だとxyは微分方程式(1)の積分因子である。

 

(3)式は完全形だから、

  dai17b-siki-001.png

でなければならない。

そして、(4)式を解くことによって積分因子を求めることができる。

 

しかし、一般に偏微分方程式(4)を解くことは難しい。そこで、特別な場合を考えることにする。

 

λxだけの関数の場合、

  

だから、(4)式は

  

となり、xだけの関数であれば、積分因子は

  

と求まる。

同様に、yだけの関数であれば、積分因子は

  

として求まる。

 

問題1 次の全微分方程式の積分因子を見つけ、一般解を求めよ。

【解】

(1) P=2xyQ=y²–x² とすると、

  

したがって、積分因子は

  

微分方程式

  

の両辺に1/y²を掛けると、

  

 

(2) P=x+yQ=−xとおくと、

  

したがって、積分因子は

  

微分方程式

  

の両辺に1/x²を掛けると

  

(解答終)

 

 

問題2 線形微分方程式

  

を変形して得られる

  

の積分因子を求めよ。

【解】

  

とおくと、

  

したがって、積分因子は

  

(解答終)


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