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第21回 ベクトルを用いた連立常微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第21回 ベクトルを用いた連立常微分方程式の解法

 

次の連立常微分方程式について考える。

  21b-001.png

この連立常微分方程式の解がであるとし、①と②に代入すると、

  21b-002.png

だから、これで両辺を割ることができて、

  

という連立方程式が得られる。

行列と(縦)ベクトル

  21b-000.png

を用いて③式を書き換えると、

  21b-003.png

さらに、これを単位行列E

  

を導入し、式を変形すると、

  21b-004.png

すなわち、

  21b-005.png

もし、行列A−rEが逆行列をもつならば、

  

となり、連立方程式③の解はa=b=0になってしまうので、a=b=0以外の解をもつためには、行列A−rEが逆行列をもたない、つまり、その行列式

  

がでなければならない。

よって

  

そして、③式の第1式から、

r=1のとき

  

で、a=1にすると

  

r=3のとき

  

となる。

以上のことから、が基本解のセット、すなわち、この微分方程式の解ベクトルで、この微分方程式の解は

  21b-006.png

 

このように、行列の固有値とその固有ベクトルを用いて連立常微分方程式を解くこともできるというお話。

このあたりの正確な議論をするためには、線形代数の基礎知識を必要とするので、こういうふうに解くこともできるのだということ。

 

この連立微分方程式は、次のように簡単に解くことができる。

①+②

  

①−②

  

④+⑤

  21b-007.png

④−⑤

  21b-008.png

そして、ここで

  

とおけば、

  21b-009.png  

となり、同じ結果が得られる。

 

二元連立常微分方程式ならば行列の固有値とその固有ベクトルを用いた解法を使う必要はないけれど、三元、四元、それ以上の多元連立方程式を扱う場合、行列とベクトルを用いた解法は強力なツールになる。

 

問題 次の連立微分方程式を解け。

  

【解】

  とすると、


aba=b=0以外の解をもつためには

  

固有ベクトルは、①の第1式より、

r=1のとき

  

r=5のとき

  21b-020.png

a=1とおくと、21b-siki-102.pngが解ベクトルとなり、一般解は

  21b-017.png

(解答終)

 

【別解】

連立微分方程式が

の形に書き換えるとすると、

  

これを解くと、

α=−1β=5のとき

  21b-013.png

α=1/3β=1のとき

  21b-014.png

①−②

  21b-015.png

①+3×②

  21b-016.png

ここで、

  

とおけば、

  21b-017.png

【別解2】

とおくと、微分方程式は

  21b-siki-100.png

zを消去するために、①にD−4をかけると、

  

これに②を加えると、

  

よって、この特性方程式は

  

したがって、が基本解で

  

また、第1式より

  

よって、

  21b-017.png

(解答終)

 


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