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微分方程式の解法のまとめ1 [ネコ騙し数学]

微分方程式の解法のまとめ1

 

§1 1階常微分方程式の解き方(基本)

1−1 変数分離形

  pde1-001.png

  pde1-002.png

 

1−2 同次形

  

y=uxとおくと

  pde1-003.png

  

y=uxとおくと

  pde1-004.png

と、同次形を変数分離形に変換することができ、

  pde1-005.png

を積分することにより、

  pde1-006.png

を得る。

 

1−3 1階線形微分方程式

  pde1-007.png

右辺Q(x)=0とおくと、同次方程式の一般解をえる。C=0としたときの特殊解をy₀とすると、非同次方程式の一般解はy=y₁+y₀である。

 

P(x)=xQ(x)=xとおくと、(1)より一般解は

  


【別解】

y₀=1y'+xy=xの特殊解。また、同次方程式y'+xy=0の一般解はだから、非同次方程式y'+xy=xの一般解は

  

(別解終)

 

 

§2 ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式の解き方

2−1 ベルヌーイ形の微分方程式

  pde1-009.png

ただし、n=0のときは線形、n=1のときは変数分離形なので、n=0n=1の場合は除く。

微分方程式の両辺をで割ると、

  pde1-010.png

ここで、とおくと、

  

となるので、これらから次の線形微分方程式が得られる。

  pde1-000.png

 

  pde1-200.png

これはn=−2の場合のベルヌーイ形の微分方程式。

したがって、両辺にをかけて

  pde1-011.png

とおくととなるから、

  pde1-012.png

として1−3の公式(1)を用いると、

  

よって、一般解は

  pde1-019.png

 

2−3 リッカチ形

  

これは一般的に解くことはできないが、1つの特殊解y₁が分かっているとき、次のように解くことができる。

  

だから、上の式からこれを引くと

  

ここで、とおくと

  pde1-013.png

と、ベルヌーイ形の微分方程式に変形することができる。

  

y=1はこの微分方程式の特殊解だから、u=y−1とおくと、

  

と、ベルヌーイが形の微分方程式になる。

これはn=1の場合だから、両辺をで割り、さらに

  

とおくと、

  pde1-014.png 

よって、1−3の(1)より

  

 

 

§3 クレーロー形

  

両辺をxで微分すると、

  pde1-016.png

p'=0よりp=c

よって、

  

また、のとき、

  

 

  

両辺をxで微分すると、

  pde1-017.png

よって、一般解は

  

x=1/p²のとき

  

両辺を2乗して

  

よって、特異解は

  


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