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複素関数と1次変換 [ネコ騙し数学]

複素関数と1次変換

 

複素平面上の点集合Sの各点zに1つの複素数wが対応するとき、wz複素関数といい、w=f(z)で表す。このとき、z独立変数w従属変数といい、Sをこの関数の定義域という。また、zwのそれぞれの実部、虚部を分けてと書くと、w=f(z)は、実変数x,yの2つの実変数関数が与えられることと同等である。

 

関数w=f(z)が与えられたとき、変数zの値を表す複素平面をz平面、変数wの値を表す複素平面をw平面という。このとき、この関数は定義域Sに含まれるz平面上の点集合S’w平面上の点集合へうつす写像と考えられ、によるS'の像という。

 

abcdを複素数の定数とするとき、

  

の形の有理関数を1次関数という。これによって与えられたz平面からw平面への写像を1次変換という。

 

1次変換は、

c≠0のとき

  

c=0のとき

  

と変形されるから、1次変換は次の3つのタイプの1次変換の合成写像。

ⅰ) w=z+α (平行移動)

ⅱ) w=αz (原点まわりの回転と相似変換の合成写像)

ichiji_henkan-graph-001.pngⅲ)  (単位円|z=1に対する反転と実軸に対する対称変換の合成写像)

とすると、

  

だから、点zの写像と同じ複素平面上に求めるには、原点Oと点zを結ぶ半直線上にとなる点z₁をとり、実軸に関するz₁の対称点をとればよい(補足参照)。

したがって、z平面の原点を中心とする半径ρの円|zは、w平面上の原点を中心とする円|w=1/ρにうつされ、また、z平面上の原点を通り実軸と角φをなす半直線arg z=φは、w平面上の半直線arg w=−φに写される。

 

問 w=1/zにより、z平面の直線x=cy=cc≠0)はそれぞれw平面上のどのような点にうつされるか。

【略解】

z平面上の直線x=c上の点を(c,t)とし、w=1/zによってうつされるw上の点をz=u+ivとすると、

  

tを消去すると、

  

したがって、x=cは、実軸上の点を中心とする半径に円うつされる。

同様に、y=cは、虚軸上の点を中心とする半径の円にうつされる。

(解答終)

 

問の結果から、一次変換w=1/zによって、原点を通らない直線は原点を通る円に、逆に原点を通る円は原点を通らない直線にうつされることになる。

 

1jihenkan-graph-002.png 【補足】

複素平面上の点zを極形式で表すと

  

したがって、

  

また、このことから、原点を中心とする半径ρ>0の円|zは、1次変換によって

  

つまり、原点を中心とする半径1/ρの円にうつされることがわかる。

 


タグ:複素解析
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