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正則関数による写像 [ネコ騙し数学]

正則関数による写像

 

領域Dで定義された関数w=f(z)により、D内の曲線

  

は、一般に、w平面の曲線

  

にうつされる。

特に、fDで正則で、Cが滑らかな曲線ならばfによるCの像であるΓも滑らかな曲線になる。

C₁C₂z₀を通る滑らかな曲線とし、Γ₁Γ₂w=f(z)によるそれぞれの像とする。z₀におけるC₁C₂の接線のなす角がw₀=f(z₀)におけるΓ₁Γ₂の接線のなす角に向きを含めて等しいとき、w=f(z)z₀において等角写像という。

 

定理

w=f(z)z₀において微分可能、かつ、とする。このとき、w=f(z)z₀において等角写像である。

【証明】

z₀をとおる2つの滑らかな曲線をC₁C₂とし、とする。

  toukaku-siki-001.png

とおくと、仮定よりf(z)は微分可能だから

  

である。

また、だからz₁z₀の十分近くにとるととすることができるので、

  toukaku-000.png  

これより

  toukaku-siki-002.png

偏角をとって

  toukaku-siki-003.png

一方、

  toukaku-siki-004.png

だから、

  

(証明終了)

 

したがって、のときz₀において必ずしも等角写像ではない。

 

例 とすると、n=1のときはz平面の全点で等角、n≧2のときはz=0以外で等角である。

なぜならば、n=1のとき、つまり、f(z)=zのとき、

  

であり、n≧2のとき

  

となり、z=0のときにf'(0)=0になるから。

たとえば、n=2のとき、原点を通る直線w平面上の直線にうつされ、実軸となす角度がcから2cに変わる。

 

だけれども、定理より、w=f(z)が正則な関数であれば、となる点z₀以外での等角性は保証されるので、fが定数関数でなければ、ほとんどの点で等角写像である。

 

問1 次の場合について、w=f(z)による写像が等角でないようなz平面上の点を求めよ。

【解】

(1) とおくと、

よって、
  

 

(2) とおくと、

  

したがって、f'(z)=0

  

よって、z=±1

(解答終)

 

問2 

  

による円|z=cの像を求めよ。

【解】

  

おとくと、

  

よって、|z=r=c=1のとき、

  

0≦θ<2πの範囲でθを変化させると、−1≦u≦1となりり、w平面の実軸上の|u|≦1の線分にうつる。

z≠1のとき、r=cとおくと、①より

  toukaku-siki-007.png

また、cos²θ+sin²θ=1だから、

  toukaku-siki-008.png

の楕円にうつる。

(解答終)

 


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「今日、9月4日はクラシックの日」らしいので、小澤指揮の『幻想交響曲』でも [今日のクラシック]

今日9月4日はクラシックの日――日本音楽マネージャー協会が1990年に制定したらしい――ということで、AFPにこのような記事が出ていた。


ということで、YouTubeで小澤とサイトウ記念の幻想交響曲を探し出して、聞いてみた。


これは録音のせいかもしれないけれど、日本料理の「おすまし」や「お吸い物」のような指揮、演奏だケロね〜。「色」も薄ければ、「味」も薄い。しかも、素材の良さも引き出していない、素材そのものの味も引き出していない。何から何まで薄い、薄っぺらい、無色透明のような録音だね〜。しかも、音楽の流れが何か変で、不自然だにゃ――この変に聞こえるところ、不自然に聞こえるところが、小澤の新解釈(・・?――。
小澤教徒、小澤ファン、小澤フリークは除いて、ネムネコは退屈すぎて全曲聴き通すことが難しいけれど――この録音を全曲聴き通すのは苦痛以外の何物でもない!!――、これを聞いて素晴らしいと感動したり、これを繰り返して聞きたいと思うヒトはどれくらいいるのだろう。

「ネムネコは、クラシックの日本人演奏家の演奏に厳しいんだよ。」

「そんなことはないにゃ。同じく日本で生を受けたものとして、ネムネコは、これでも日本人演奏家に対して甘いにゃ。甘すぎるくらいだにゃ。それでも聞いてすぐそう思ってしまうんだから、しょうがないケロ。」

これならば、「個性がない、個性を感じられない指揮者」と音楽評論家から酷評されるオーマンディ――レコード会社からすると、カラヤンやバーンスタインといったスター指揮者の録音のない曲、とりあえず、そのすき間を埋める、スキマ指揮者という点で、小澤とオーマンディは似たような立ち位置の指揮者!!――の録音のほうがずっといいと思うにゃ、オーマンディの録音のほうがずっと音楽的に聞こえるケロ。少なくとも、オーマンディ―は、この録音で、フィラデルフィア管という名門オケのパフォーマンスを最大限に引き出している!!


オーマンディのほうが音楽的な流れは自然。そして、何よりも、ゴージャスで美しい(響き)!! この素晴らしい「オケの音」を聞くことができるという、この点だけでも、この録音には他の録音には代えがたい価値、魅力があると思うにゃ。

本当は、月とスッポンくらいの違いがあると言いたいけれど、そんなことを言うと、小澤教徒の反感を買い、怒られるので控えめにしたにゃ。


タグ:クラシック
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