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一般解は、本当に一般解か? [ネコ騙し数学]

一般解は、本当に一般解か?

 

次の微分方程式があるとする。

  

この微分方程式の一般解は

  

である。

そして、これに、たとえば、C=1など特別な値を与えたもの

  

などが特殊解である。

ここで、

  

と定義すると、C=1のときの特殊解は

  

と表せる。

 

ということで、微分方程式

  

を満たす関数y=φ(x,C)Cはパラメータ)を一般解と呼べばいいのだろう。

 

さて、このように一般解を定義すると、すぐに大変な事態に遭遇する。

例えば、次の微分方程式を考える。

  

y≠01とすると、

  

ところで、計算をするまでもなくy=0y=1は微分方程式(1)の解である。

一般解(2)にC=0を与えればy=1になるので、y=1はよい。

しかし、(2)のCにいかなる値を与えても、微分方程式(1)の解y=0にはならない。

したがって、

  

は、微分方程式をみたす関数のすべてを表せないので、(2)は(1)の一般解ではないことになってしまう。

大変だケロ。

この大問題を回避するために、y=0は、特異な解、特異解と呼ぶことにするにゃ。

 

これで危機的状況を回避できたかに見える。しかし、それほど、世の中は甘くない!!

  

の両辺に−1をかけると、

  

さてさて、(2)と(3)は同じだろうか。

C≠0のとき、右辺の分子分母をCで割れば、

  

になるので、1/Cを改めてCとおけば形の上では(2)と(3)は同じものに見える。

しかし、(2)と(3)では決定的な違いがある。

C=0とすると(3)はy=0あらわせけれど、Cにいかなる値を与えてもy=1にならないので、今度はy=1が特異解になってしまう。

 

ここで言いたのは、微分方程式の一般解というものは、実は、結構、胡散臭い代物だということ。

 

さらに、次の微分方程式について考えることにする。

  

この微分方程式はより深刻な問題を含んでいる。

y≠0とすると、

  

今度は、C=0とするとy=0になるので問題は発生しないように見える。

しかし、C₁C₂を任意定数、ただし、C₁≠C₂とし、

  

とおくと、(6)は(4)の解であり、また、俗に(4)の一般解とされる(5)で表すことは出来ない。

それどころか、(5)は、C₁≠C₂の制限を取り払った(6)のC=C₁=C₂の特殊な解で、(6)がより一般的な解ということになるだろう。

(6)は1つの式ではないからダメというヒトの口封じに、ヘヴィサイド関数

  

を導入し、

  

とすればよいだろう。

 

先に、1階常微分方程式の一般解はy=φ(x,C)Cはパラメータ)で表されると書いたけれど、微分方程式(4)の一般解(?)はパラメータC₁C₂を用いてy=φ(x,C₁,C₂)の形になるのであった。

 

それでも、あなたは、微分方程式(4)の一般解は(5)だと言い張りますか?

 

この記事は、稲葉三男著「微積分の根底をさぐる」(現代数学社)の「一般解の怪奇」を参考にして書いたにゃ。


タグ:微分方程式
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