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一般の完全形 [ネコ騙し数学]

一般の完全形

 

n階微分方程式

  

の左辺の関数Fの、ある関数Gの導関数であるとき、つまり、

  

であるとき、この微分方程式は完全形であるという。

また、

  

が完全形であるとき、λF積分因子という。

 

問題 次の微分方程式の積分因子を示し、積分により解けることを証明せよ。

【解】

(1) y'は積分因子。

両辺に2y'をかけると

  

また、

  ippan-001.png

となるので、

  ippan-002.png

したがって、

  

よって、一般解は

  

 

【別解】

とおくと、微分方程式は

  

と変形が可能。

したがって、

  

以下、省略

(別解終)

 

(2) が積分因子。

微分方程式の両辺に積分因子をかけると、

  ippan-003.png

だから、

  

したがって、

  

(解答終)

 

これらはあくまで形式的な解です。

たとえば、(1)のという不定積分が求められる――初等的な関数であらわすことができる――とは限らないし、まして、

  

はなおのこと。

だから、解けるのは、次のようにP(y)がごくごく簡単な関数に限られる。

  

P(y)=−yだから、

  

c₁>0のとき、

  

で、とおくと、

  

となり、物理の単振動の方程式が得られる。

物理の力学の教科書などでは、こうした解法が取られることが多いようである。

 

しかし、⑨の一般解解は、特性方程式

  

から、

  

と簡単に求めらることができる。

 


タグ:微分方程式
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