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第59回 偏角の原理 [ネコ騙し数学]

第59回 偏角の原理

 

定理(偏角の原理)

関数f(z)は単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで有理型であり、C上では正則で零点をもたないとする。f(z)Cの内部に極、零点をもつとし、の位数、とすると、

  hekaku-001.png

【証明】

の1つの分枝を考えると、

  henkaku-002.png

となるので、

  henkaku-003.png

ここで、

  

とすると、C上を1周しても値は変わらないので、の変化量は、と等しい。

よって、

  henkaku-004.png

f(z)αs次の極としてもつとき、αの近くで

  

とあらわせるので、

  

αで正則だから、αの1次の極で

  

同様に、βの1次の極で

  

となる。

Cの内部にあるの極は、であるから、留数定理より

   

(証明終)

 

偏角の原理より、C上を反時計回りに1回転させると、w=f(z)w平面上で1つの閉曲線をえがくことになり、

  henkaku-009.png

と書き直せる。この式の右辺はw平面上の閉曲線Γz=0まわりの回転数をあらわす。

 

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

ならば、f(z)g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。

【証明】

Cの内部にあるf(z)g(z)の零点の個数をとする。仮定よりf(z)f'(z)C上に零点をもたないので、偏角の原理より

  henkaku-007.png

よって、

  

したがって、とおくと、仮定よりC上で|w<1

このとき、1+wは、zC上を1周すると、w=1を中心とする半径1の内部で閉曲線Γをえがくことになり、w=0のまわりの回転数は0になる。

したがって、

  

(証明終)

 

 

偏角の原理の応用として、次に、代数学の基本定理の証明を与える。

 

定理 (代数学の基本定理)

複素数を係数とするn次の代数方程式

  

n個の根をもつ。

【証明】

十分大きな正の数Rをとると、|z<R

  

Cを|z=Rとし、

  

とおき、 これに対してRouché(ルーシェ)の定理を用いると、f(z)n個の零点をもつので、g(z)n個の零点をもつことになり、定理は証明された。

(証明終)

 


タグ:複素解析
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