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第60回 ルーシェの定理の応用 [ネコ騙し数学]

第60回 ルーシェの定理の応用

 

前回紹介したルーシェの定理

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

  

ならば、f(z)g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。

は、たぶん、問題を解くときには、使いづらいと思うので、別表現のルーシェの定理を紹介する。

 

定理(Rouchéの定理)

f(z)g(z)が単一閉曲線で囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で

ならば、f(z)f(z)+g(z)Cの内部で同一個数の零点をもつ。

 

z³+3z+1=0の|z<2の解の個数について考えることにする。

f(z)=z³g(z)=3z+1とすると、閉曲線|z=2(原点を中心とする半径2の円)上で

  

したがって、ルーシェの定理より、f(z)+g(z)=z³+3z+1f(z)=z³は|z<2で同じ個数の零点をもつ。

z<2におけるf(z)=z³の零点、つまり、f(z)=z³=0となる点はz=0でこれは3位の零点である。だから、

z<2におけるf(z)+g(z)=z³+3z+1の零点は3個、つまり、z³+3z+1=0の解の個数は3娘である。

また、|z<1のとき、|z=1上で

  

したがって、f(z)+g(z)=z³+3z+1g(z)=3z+1は|z<1で同じ個数の零点をもつ。g(z)=3z+1の零点、つまり、g(z)=3z+1=0の点はで、これは1位の零点。よって、|z<1におけるz³+3z+1=0の解の個数は1個である。

 

ちなみに、の実数解は、カルダノの公式から

  

複素数解を含めると

  

ここで、ω

  

 

問題 5次方程式の複素数解は2未満であることを証明せよ。

【解】

とおくと、これは閉曲線|z=2上で

  

したがって、ルーシェの定理より、|z<2におけるの零点の個数は等しい。|z<2におけるf(z)=z⁵の零点はz=0でこれは5位の零点。したがって、|z<2におけるの零点は5個。の解は5つしかないから、|z<2にすべて存在することになるケロ。

よって、

の複素数解は2未満である。

(解答終)


タグ:複素解析
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今日のクラシック 中村太地独奏Vn ブルッフ作曲『バイオリン協奏曲第1番』 [今日のクラシック]

今日のクラシックは、ブラームス・コンクールのバイオリン部門で1位になった、中村太地独奏Vnのブルッフ作曲『バイオリン協奏曲第1番』の第1楽章(の途中)です。


第5回 若者のためのチャイコフスキー国際コンクール決勝での演奏らしいですね。この時の年齢は13歳だったらしいですね。
雑な部分が多々あるようですが、13歳にしては、テクニックもしっかりしているようですし、それなりに効かせてもくれますから、なかなかの演奏といってよいのではないでしょうか。
あくまで、「13歳という年齢にしては」ですよ。
この但し書きがあることを忘れてもらっては困ります。

YouTubeに2楽章、3楽章の演奏もあるようなので、あわせて紹介します。このヒトの演奏はYouTubeにあるみたいですよ。



2015年のヴァルナ国際バイオリンコンクールで4位になった演奏はこちら↓


私は個性や才能といったものをまったく感じませんが、13歳のときの演奏と比較すると、随分と成長しているようです。妙な弾き癖はないようですし、線は細いですけれど、全体的に美しい音ですから、聞きやすい演奏ではないでしょうか。

こちら↓は、2016年の何とか国際バイオリンコンクールでの演奏。


オーケストラの演奏があまりにヒドイので思わず吹き出してしまいました。このオケにつられたのでしょうか、中村太地の演奏も・・・。協奏曲ですから、オケに合せないといけないので、きっとこのような演奏になったんでしょう(^^)
プロのオーケストラじゃないよな、これはきっと。

ビジュアル的には五嶋弟よりも上のようですし、曲がりなりにも国際コンクールで優勝もしましたし、日本に帰国すると、人気が出るかもしれませんね。


この五嶋弟の動画のコメントを見ると、随分と高く評価している日本のファンの方が多いようですね〜。
優しい方ばかりで、いいですね〜(^^)


タグ:クラシック
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