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複素関数の極限の補充問題 [ネコ騙し数学]

複素関数の極限の補充問題

 

独立変数z、従属変数wがともに複素数である関数w=f(z)を複素関数という。z=x+iyw=u+ivとすれば、

  

となり、uvは2変数xyの関数になる。このことをu=u(x,y)v=v(x,y)と書くことにする。

 

複素関数の極限

任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、

  

が成り立つとき、zz₀に近づくときf(z)は極限値αに収束するといい、

  

とかく。

z=x+iyとすると、だから、

  

したがって、とすると、

  

また、無限遠点∞を含む極限は次のように定義する。

  fk-001.png

 

問題1 つぎの極限値を求めよ。

【解】

(1) z=x+iyとすると、。(半)直線y=mxにそってzを原点Oに近づくものとする。

x≠0のとき、

  

となり、直線の傾きmによって値が変わる。

よって、は存在しない。

 

(2) だから、

  

 

(3)

  

(解答終)

 

実関数の極限は、

  

となるので、この極限は存在しないけれど、複素関数の次の極限

  

で、無限遠点∞がこの極限になるので注意が必要。

また、(3)の極限を求めるときは、正式には上のように解かないといけない。

大学の定期試験で、実数の極限と同じように

  fk-009.png

と解くと、先生に、減点されたり、✕をつけられるのかもしれないので注意。

実数の極限に持ち込みたいのならば、

たとえば、

  

したがって、|z=Rが十分に大きいとき、

  fk-003.png

などとすればいいケロ。

 

問題2 次の極限を求めよ。

【解】

z=x+iyとすると、Re(z)=xIm(z)=y

(1) 直線y=mxにそって原点に近づけると、

  

直選の傾きによってこの極限は変わるので、この極限は存在しない。

 

(別解)

x=rcosθy=rsinθとすると、

  

θの値によってこの極限は変化するので、この極限は存在しない。

gk-fig-001.png
 

(2)は略。この手の極限は、大体、存在しないことになっている(^^

(解答終)

 

 

問題3 次の極限を求めよ。

  

【略解】

z=x+iyとおくと、

例によって、y=mxx>0)にそって原点に近づけると、

  

よって、極限は存在しない。

 

【別解】

とおくと、

  

よって、極限値は存在しない。

(解答終)

 

この手の極限は、大体、存在しない(^^)

 

 

宿題 次の極限を求めよ。

(ヒント)

(2)は

  

と絶対値をとって、この極限で議論すればよい。


タグ:複素解析
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