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複素関数の連続に関する補充問題 [ネコ騙し数学]

複素関数の連続に関する補充問題

 

連続の定義

z₀w=f(z)の定義域Dに属し、が成り立つとき、f(z)z₀で連続という。

すなわち、

任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶとき、

  

が成り立つとき、f(z)z₀で連続という。

z₀=x₀+y₀で連続であるとき、

  kr-001.png

である。

 

問題1 次の関数はz=0で連続か。

  kr-002.png

【解】

(1) z=x+iyとおくと、z≠0のとき

  

y=mxx>0)にそってz0に近づくとき、

  kr-003.png

これはmの値によって変わるので、は存在しない。

よって、z=0で不連続である。

 

(2) z≠0のとき

よって、

となり、f(z)z=0で連続である。

(解答終)

 

(2)は次のように答えてもよい。

 

【(2)の別解】

z≠0のとき、

  

よって、f(z)z=0で連続である。

(解答終)

 

 

問題2 次の関数はz=0で連続か。

  kr-004.png

【解】

(1) z≠0のとき、

  

したがって、f(z)z=0で連続でない。

 

(2) f(0)=0。また、z=x+iyとすると、Im(z)=y

  

よって、f(z)z=0で連続である。

 

(別解)

z≠0のとき、

  

(解答終)

 

多変数関数の場合、ε-δ論法は複雑になるのでふつう用いないけれど、やってみますか。

 

  

とすると、g(t)は狭義単調増加関数。

したがって、0<ε<1δ>0とし

  

とすると、

  kr-006.png

ε≧1のとき、δ=1とすると、

  

したがって、任意のε>0に対してδ>0

  kr-007.png

にとれば、

  

となり、f(z)z=0で連続である。

 

 

問題3 f(z)z₀で連続であるとき、z₀で連続であることを示せ。

【証明】

f(z)z₀で連続だから、任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、

  

である。

このεに対するδを用いると、

  

したがって、z₀で連続である。

同様に、

  

したがって、z₀で連続である。

(証明終)

 

とすると、

  

また、だから、

  
とすると、だから、

 

  


タグ:複素関数
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