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ラグランジュの未定乗数法を使って大学入試の有名問題を解く [ネコ騙し数学]

大学入試の問題で非常に有名な問題がある。

 

問題 正の実数abca+b+c=1を満たすとき、次の問に答えよ。

(1) abcの最大値を求めよ。

(2) であることを示せ。

(3) の最小値を求めよ。

【解】

(1) 相乗平均≦相加平均より

  

よって、a=b=c=1/3のときabdの最大値は1/27

 

(2)

  

 

(3)

相加平均≧相乗平均より

  

また、(2)よりだから、

  

したがって、a=b=c=1/3のときに最小値100/3

(解答終了)

 

(2)は、シュワルツの不等式

  

を知っていれば、x=y=z=1とおき、

  

となることから、このことは容易に想像がつくが・・・。

 

(a,b,c)を原点を中心とする半径rの球の球面上x²+y²+z²=r²の点と考えると、

 

この球と平面x+y+z=1が共有点をもつ条件は、球の半径r≧平面x+y+z=1と原点との距離

  lag-siki-003.png

と解くこともできる。

等号が成立するのは、球x²+y²+z²=r²と平面x+y+z=1が接するとき。

 

(3)は、相加平均≧相乗平均だから

  lag-siki-004.png

よって、

  

したがって、最小値は12としてはいけない。最小値が12になるのはa=b=c=1のときだから、a+b+c=3≠1となり、問題の条件を満たさないからだ。

 

 

ラグランジュの未定乗数法を使うならば、次のように解くことができるだろう。

 

(1)は、 f(a,b,c)=abcg(a,b,c)=a+b+c–1=0とし、

  

とすると、

  

a≠0b≠0c≠0だから、abcで割ると

  

また、a+b+c=1だから、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)=abcの極値は

  

 

(2)は、f(a,b,c)=a²+b²+c²とし、

  

とすると、

  

これとa+b+c=1より、a=b=c=1/3となり、f(a,b,c)の極値は

  

 

(3)は、とおき、

  lag-siki-006.png

とすると、

  lag-siki-009.png

よって、

  lag-siki-007.png

何故ならば、a>0b>0のとき

  lag-siki-008.png

だから。

同様に、b=c

よって、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)の極値は

  

 

厳密なことを言うと、ラグランジュの未定乗数法を用いるとき、(1)、(2)、(3)のいずれの場合も、a=b=c=1/3のときにf(a,b,c)が極値であることを証明しないといけない。何故ならば、(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)は、あくまでf(a,b,c)が極値をもつ候補の点に過ぎず、この点で極値をとる保証がないから。そして、この証明はそれほど簡単なものではない。

 


第19回 陰関数の極値(偏微分) [ネコ騙し数学]

第19回 陰関数の極値

 

(x₀,y₀)を含む領域Df(x,y)級であるとする。陰関数定理より、ならば、x₀の近傍でf(x,y)=0で定める級の陰関数y=φ(x)がただ一つ存在し、

  

である。

(1)式をさらにxで微分すると、

  dai19-siki-01.png

ここで、

  dai19-siki-02.png

したがって、f(x,y)Dならば、

  

である。

 

 

問題1 関係式x²–2xy–y²=1で定まる陰関数についてを求めよ。

【解】

f(x,y)=x²–2xy–y²–1とおくと、 だから、

  

だから

  

(解答終)

 

 

次に、f(x,y)級とし、f(x,y)=0で定まる級の関数y=φ(x)の極値について考えることにする。

y=φ(x)x=x₀で極値を取るとすると、陰関数定理より

  

また、y=φ(x₀)で極値をとるためには、

  

したがって、(2)式より、x=x₀におけるd²y/dx²の値は

  

となる。

よって、

  dai19-siki-07.png

のときy=φ(x₀)は極小となり、

  dai19-siki-08.png

のときに極大となる。

 

以上のことをまとめると、次の定理になる。

 

定理

f(x,y)級の関数とし、y=φ(x)f(x,y)=0の定める陰関数とする。

φx=x₀で極値y₀=φ(x₀)を取るならば、

  

で、

のときy₀は極大値で、のときy₀は極小値である。

 

 

問題2 3x²+2xy+2y²=15の定める陰関数yの極値を求めよ。

graph-3x^2+2xy+2y^2=15.png【解】

とおくと、

  

3x²+2xy+2y²–15 =0に代入すると、

  

だから

  

(x,y)=(−1,3)のとき

  

(x,y)=(1,−3)のとき

  

よって、

yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値3をとる。

(解答終)

 

この程度の問題ならば、3x²+2xy+2y²=15xに関する2次方程式と考え、2次方程式の判別式を使って解くこともできる。

 

【別解】

xに関する2次方程式3x²+2yx+2y²–15=0は実根を持たなければならないので、その判別式をDとすると、

  

y=−3のとき

  

同様に、y=3のときx=−1

したがって、yは、x=−1のとき極大値3x=1のとき極小値1を取る。

(別解終)

 

 

宿題 3x²+2xy+2y²=15で定まる陰関数yの極値を、1変数関数の微分を用いて求めよ。

 

この問題を自分で解くと、紹介した定理の有り難みがよく分かる!!


タグ:微分 偏微分

韓国、北朝鮮に軍事会談を提案 21日に板門店で 産経 [ネコ騙し数学]


第18回 陰関数の種々の計算問題 [ネコ騙し数学]

第18回 陰関数の種々の計算問題

 

問題1 次の関係式が定めるxの関数yの第1次導関数、第2次導関数を求めよ。

  

【解】

(1) x²+y²=1の両辺をxで微分すると、

  

y≠0のとき

  tahen-dai18-siki-001.png

 

(2) の両辺をxで微分すると、

  

のとき、つまり、x+y≠0のとき、

  tahen-dai18-siki-002.png

(解答終)

 

 

sessen-graph-001.png問題2 曲線x²+xy+y²=3の点(1,1)における接線を求めよ。

【解】

x²+xy+y²=3の両辺をxで微分すると、

  

よって、x+2y≠0ならば、

  

(x,y)=(1,1)を代入すると、

  

したがって、接線の方程式は

  

(解答終)

 

f(x,y)級の関数とし、点(x₀,y₀)を曲線f(x,y)=0上の点、そして、またはであるとする。

いま仮にとすると、陰関数定理より、点x₀の近傍内にある曲線の部分は、f(x,y)=0で定まるただ1つの陰関数y=φ(x)で表される。

このとき、

  

が成立するので、接線の方程式は

  tahen-dai18-siki-003.png

であり、曲線上の点(x₀,y₀)における曲線f(x,y)=0の接線はただ1本である。

この結果を用いるならば、問題2は次のように解くこともできる。

 

【別解】

f(x,y)=x²+xy+y²–3=0とすると、

  tahen-dai18-siki-004.png

f(x,y)の点(1,1)における偏微分係数だから、曲線f(x,y)=0の曲線上の点(1,1)における接線の方程式は、(1)より、

  

(別解終)

 

 

x^2-xy+y^2=3_graph.png問題3 次の関係式で定められる陰関数yの極値を求めよ。

  

【解】

x²–xy+y²=3の両辺をxで微分すると、

  tahen-dai18-siki-005.png

よって、y'=0になるのはy=2xのとき。

これをx²–xy+y²=3に代入すると、

  

よって、yの陰関数の極値になる点は(x,y)=(1,2)(−1,−2)

極値の判定をするために、①の両辺をxで微分すると、

  tahen-dai18-siki-006.png

極値を取る点ではy'=0だから、

  

したがって、

(x,y)=(1,2)のときy''=−2/3<0となり、このとき極大、

(x,y)=(−1,−2)のとき、y''=2/3>0となり、このとき極小。

以上のことより、x=1のときyは極大で極大値は2x=−1のときyは極小で極小値は−2である。

(解答終)

 

【別解】

xに関する2次方程式x²–yx+y²–3=0xの解は実数でなければならないから、2次方程式の判別式をDとすると、

  

でなければならない。

y=−2のとき

  

y=2のとき

  

よって、

x=−1のときyは極小で極小値は−2

x=1のときyは極大で極大値は2

(別解終了)

 

2次方程式の判別式を使わず、その元となる平方完成を用いると、

【別解2】

  

よって、

x=−1のときyは極小で極小値は−2

x=1のときyは極大で極大値は2

(別解終了)


陰関数定理の補足 [ネコ騙し数学]

陰関数定理の補足

 

f(x,y)の関数であるとする。

陰関数定理の主張は、

であるならば、x₀の近傍で級の陰関数y=φ(x)ただ1つ存在し

  

であるということ。

またはという条件は、あくまで、関係式f(x,y)=0で定まる級の陰関数y=φ(x)またはx=ψ(y)が存在することの十分条件であって、この条件を満たしていなくても、級の陰関数y=φ(x)またはx=ψ(y)が存在することがある。このことは、次の問題を解けばわかる。


 

問題1 x³–2xy+y²=0によって定まる級の陰関数y=φ(x)φ'(0)を求めよ。

【解】

x^3-2xy+y^2=0-graph-001.pngf(x,y)= x³–2xy+y²とおくと、だから、曲線x³–2xy+y²=0上の点(0,0)での偏微分係数は

つまり、(0,0)は曲線x³–2xy+y²=0特異点

したがって、陰関数定理から、x₀=0近傍で、x³–2xy+y²=0によって定まる級の陰関数y=φ(x)が存在するかどうかはわからない。

x³–2xy+y²=0yについて解くと、

  

x=0におけるy₁y₂の右側、左側微分係数を求めると、

  

そこで、

と定めると、φ'(0)=2となる。

また、

と定めると、φ'(0)=0になる。

(解答終)

 

問題2 x³–2xy+y²=0によって定められる陰関数

  

  

x=0で微分可能であることを示せ。

【解】

まず、y=φ₁(x)x=0で微分可能であることを示す。

h>0のとき、

  

h<0のとき、

  

したがって、y=φ₁(x)x=0で微分可能で、である。

 

次に、y=φ₂(x)x=0で微分可能であることを示す。

h>0のとき、

  

h<0のとき

  

したがって、y=φ₂(x)x=0で微分可能で、

(解答終了)

 

y=φ₁(x)y=φ₂(x)が開区間(−∞,1)からx=0を除いた点で微分可能なのは明らか。そして、上の問題からx=0で微分可能だから、(−∞,1)φ₁φ₂ともに微分可能ということになる。


第17回 陰関数定理 [ネコ騙し数学]

第17回 陰関数定理

 

定義 (陰関数)

xyに関する関係式f(x,y)=0に対して、関数y=φ(x)

  

を満たすとき、y=φ(x)f(x,y)=0によって定まる陰関数という。

 

例えば、f(x,y)=x²–y²–1= 0 とする。このとき、

  

とすれば、

  

となるので、は関係式f(x,y)=x²–y²–1= 0 で定まる陰関数である。



定理18 (陰関数定理)

(x₀,y₀)を含む領域でf(x,y)級とする。

ならば、点(x₀,y₀)を含む近傍でf(x,y)=0の定める級の陰関数y=φ(x)がただ1つ定まり、次の関係が成り立つ。

  tahen-dai17-siki-002.png

inkansu-graph-001.png【証明】

とする。

関数f(x,y)級だから点(x₀,y₀)のある近傍でである。

x=x₀で固定すると、だからf(x₀,y)yに関して単調増加。

A(x₀,y₁)を近傍内の点とすると、y₁<y₀f(x₀,y₁)<0B(x₀,y₂)y₀<y₂f(x₂,y₂)>0である。

x₁≦x≦x₂において

  

f(x,y)は連続で単調増加だから、中間値の定理よりy₁<y<y₂となるyがただ1つ存在する。そのyの値はxの関数で、それをy=φ(x)とすればよい。

 

次に、y=φ(x)が連続であることを示す。α∈[x₁,x₂]β=φ(α)とし、任意のε>0に対して

  

とすると、

  

y₁≦y≦y₂のとき、だから

  tahen-dai17-siki-003.png

x=αで連続であるから、あるδ>0があって、

  

また、だから

  

よって、

  tahen-dai17-siki-004.png

となり、y=φ(x)x=αで連続である。

 

f(x,y)級だから平均値の定理より

  

となるθが存在する。

また、f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)=0だから、Δx≠0のとき

  tahen-dai17-siki-006.png

は連続だから、Δx→0のとき、

  tahen-dai17-siki-007.png

(証明終)

 

3変数関数についても陰関数定理が成り立つ。

 

定理19

関数f(x,y,z)が点(a,b,c)の近傍で級ならば、点(a,b)を含む開集合D上で級の関数z=φ(x,y)

  tahen-dai17-siki-011.png

を満たすものがただ1つ存在し、

  tahen-dai17-siki-008.png

である。

 

 

問 次の問に答えよ。

(1) 点(1/√2,−1/√2)の近傍で、関係式x²+y²=1で定まる陰関数yを求めよ。

(2) 点(1,0)の近傍で、関係式x²+y²=1で定まる陰関数を求めよ。

【解】

(1) f(x,y)=x²+y²–1=0とおくと

よって、

  

となり、陰関数定理より、点(1/√2,−1/√2)の近傍で 関係式x²+y²=1で定まる陰関数y=φ(x)が存在する。

  

とすると、

  tahen-dai17-siki-009.png

となり不適。

とすると、

  tahen-dai17-siki-010.png

よって、

 

(2) 点(1,0)における偏微分係数は

  

だから、陰関数定理により点(1,0)の近傍で 関係式x²+y²=1で定まる陰関数x=φ(y)が存在する。

x²+y²=1xについて解くと

  inkansu-teiri-siki.png

(x,y)=(1,0)を満たすのはだから、これが点(1,0)の近傍で関係式x²+y²=1で定まる陰関数である。

(解答終)

 


第16回 ヤコビアン [ネコ騙し数学]

第16回 ヤコビアン

 

u=φ(x,y)v=ψ(x,y)級であるとき、

  mataka-sine.png

ヤコビ行列といい、次の行列式

  tahen-dai16-siki-001.png

ヤコビアンという。

 

 

問題1 次のヤコビアンを求めよ。

【解】

(1) だから

  tahen-dai16-siki-002.png

 

(2) だから

  tahen-dai16-siki-003.png

 

(3) だから

  

(解答終)

 

問題2

(1) のとき、

  

が成り立つことを示せ。

 

(2) が逆に解けて、であるとき、

  

であることを示せ。

 

(3) 平面座標の座標変換のヤコビアンを求めよ。

【解】

(1) 合成関数の微分公式(連鎖律)から

  

 

(2) (1)でs=ut=vになっている場合だから

  tahen-dai16-siki-006.png

 

(3) だから、

  

(2)より

  

(解答終)

 

問題2の(3)は

  

を逆に

  

と解くことができ、

  

となるので、直接

  tahen-dai-siki-009.png

と解くこともできる。

 

 

問題3 級の写像とする。

f級の逆写像をもつとき、

  

であることを示し、これより

  

であることを証明せよ。

【解】

uvで偏微分すると、

  

同様に、uvで偏微分すると、

  

したがって、

  tahen-dai16-siki-010.png

よって、

  tahen-dai16-siki-011.png

(解答終)


偏微分の簡単なドリル [ネコ騙し数学]

最近、2次曲線を取り上げ、肝心の偏微分の記事をブログにアップしていない。

そこで、お前らに一つ尋ねるけれど、次の偏微分くらいは簡単に求められるんだろうな。

 

問題 次の関数を偏微分しなさい。

  

 

次の定理を使うと、比較的簡単に上の関数の偏微分を求めることができる。

 

定理 関数f(u)が微分可能で、u=φ(x,y)が偏微分可能ならば、

  

である。

 

ただ、この定理を使って実際に計算する場合は、公式(A)よりも、z=f(u)とおき、

  

を使ったほうが間違いにくいのだろう。

 

(1)の場合は、z=f(u)=√uu=x²+y²とすると、

  

だから、

  

になる。

 

(2)の場合、とおけば、

  

だから、

  

になる。

 

なお、

  


2次曲線の離心率 [ネコ騙し数学]

2次曲線の離心率

 

放物線の定義は、「直線(準線)と直線上にない定点(焦点)との距離が等しい点の軌跡」であり、これは「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:1である点の軌跡」と言い換えることができる。

そこで、これをさらに一般化し、

「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:eである点の軌跡」

について考えることにする。

 

準線をy軸とし、焦点Fの座標を(c,0)とすると、点P(x,y)と準線との距離は|x|、焦点Fと点Pとの距離はになるので、

この両辺を2乗すると、

e=1のときは

e≠1のとき

0<e<1のとき、e²–1<0だから

 

e>1のとき

 

したがって、

0<e<1のとき楕円、e=1のとき放物線、e>1のとき双曲線である。

このe離心率という。

2jikyokusen-graph-001.png

楕円、双曲線の中心が原点に一致するよう、x軸方向に平行移動すると、(3)式は

したがって、楕円

の離心率eは、

から

と求められる。

また、このとき、(4)式は

となるので、双曲線の離心率e

から

と求められる。

 


タグ:数学基礎

2次曲線の極座標表示 [ネコ騙し数学]

2次曲線の極座標表示

 

§1 楕円

 

daen-gprah-002.png楕円の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、楕円上の動点をPFP+F'P=2aとする。

FP=rx軸とFPのなす角度をθとする。

FF'Pに対して余弦定理を用いると

  

a≠0だから、右辺の分母、分子をaで割ると、

  

ここで、

  

とおくと、楕円の極座標表示の方程式(※)は

  

 

半直弦とは、θ=π/2のときのFP=rのこと。

このことは、θ=π/2のときcosθ=0になるので、(1)式より

  

となることより明らかだろう。

 

また、楕円(a≧b)の場合、

  

離心率ε

   

である。

a=bのときは円でε=1である。

 

(※) この場合

  

という対応関係にあることに注意!!

 

 

§2 双曲線

 

soukyokusen-graph-002.png双曲線の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、右側の双曲線について考えることにする。

双曲線上の点をPとすると、双曲線の定義から

  

FPx軸のなす角度をθとし、△FF'Pについて余弦定理を用いると、

  

FP=rとすると、
  

  

ここで、aで右辺の分子分母を割ると、

  

ここで、

  

とおくと、

  

 

c>aだから双曲線の離心率ε>1である。

 

 

§3 放物線

 

houbutusen-graph-002.png放物線の焦点F(p,0)p>0)、準線をx=−p、さらに放物線上の点をPとし、準線x=−pPからおろした垂線の足をHとする。

放物線の定義からHP=FP

FP=r、線分FPx軸のなす角度をθとすると、

  

l=2pε=1とすれば、

  

の形になるので、放物線の離心率ε=1

 

ということで、2次曲線は

 0≦ε<1のとき楕円(ε=0のとき円)

  ε=1のとき放物線

  ε>1のとき双曲線

になるという話でした。

 


タグ:数学基礎
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