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第16回 ヤコビアン [ネコ騙し数学]

第16回 ヤコビアン

 

u=φ(x,y)v=ψ(x,y)級であるとき、

  mataka-sine.png

ヤコビ行列といい、次の行列式

  tahen-dai16-siki-001.png

ヤコビアンという。

 

 

問題1 次のヤコビアンを求めよ。

【解】

(1) だから

  tahen-dai16-siki-002.png

 

(2) だから

  tahen-dai16-siki-003.png

 

(3) だから

  

(解答終)

 

問題2

(1) のとき、

  

が成り立つことを示せ。

 

(2) が逆に解けて、であるとき、

  

であることを示せ。

 

(3) 平面座標の座標変換のヤコビアンを求めよ。

【解】

(1) 合成関数の微分公式(連鎖律)から

  

 

(2) (1)でs=ut=vになっている場合だから

  tahen-dai16-siki-006.png

 

(3) だから、

  

(2)より

  

(解答終)

 

問題2の(3)は

  

を逆に

  

と解くことができ、

  

となるので、直接

  tahen-dai-siki-009.png

と解くこともできる。

 

 

問題3 級の写像とする。

f級の逆写像をもつとき、

  

であることを示し、これより

  

であることを証明せよ。

【解】

uvで偏微分すると、

  

同様に、uvで偏微分すると、

  

したがって、

  tahen-dai16-siki-010.png

よって、

  tahen-dai16-siki-011.png

(解答終)


偏微分の簡単なドリル [ネコ騙し数学]

最近、2次曲線を取り上げ、肝心の偏微分の記事をブログにアップしていない。

そこで、お前らに一つ尋ねるけれど、次の偏微分くらいは簡単に求められるんだろうな。

 

問題 次の関数を偏微分しなさい。

  

 

次の定理を使うと、比較的簡単に上の関数の偏微分を求めることができる。

 

定理 関数f(u)が微分可能で、u=φ(x,y)が偏微分可能ならば、

  

である。

 

ただ、この定理を使って実際に計算する場合は、公式(A)よりも、z=f(u)とおき、

  

を使ったほうが間違いにくいのだろう。

 

(1)の場合は、z=f(u)=√uu=x²+y²とすると、

  

だから、

  

になる。

 

(2)の場合、とおけば、

  

だから、

  

になる。

 

なお、

  


2次曲線の離心率 [ネコ騙し数学]

2次曲線の離心率

 

放物線の定義は、「直線(準線)と直線上にない定点(焦点)との距離が等しい点の軌跡」であり、これは「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:1である点の軌跡」と言い換えることができる。

そこで、これをさらに一般化し、

「準線からの距離と焦点からの距離の比が1:eである点の軌跡」

について考えることにする。

 

準線をy軸とし、焦点Fの座標を(c,0)とすると、点P(x,y)と準線との距離は|x|、焦点Fと点Pとの距離はになるので、

この両辺を2乗すると、

e=1のときは

e≠1のとき

0<e<1のとき、e²–1<0だから

 

e>1のとき

 

したがって、

0<e<1のとき楕円、e=1のとき放物線、e>1のとき双曲線である。

このe離心率という。

2jikyokusen-graph-001.png

楕円、双曲線の中心が原点に一致するよう、x軸方向に平行移動すると、(3)式は

したがって、楕円

の離心率eは、

から

と求められる。

また、このとき、(4)式は

となるので、双曲線の離心率e

から

と求められる。

 


タグ:数学基礎

2次曲線の極座標表示 [ネコ騙し数学]

2次曲線の極座標表示

 

§1 楕円

 

daen-gprah-002.png楕円の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、楕円上の動点をPFP+F'P=2aとする。

FP=rx軸とFPのなす角度をθとする。

FF'Pに対して余弦定理を用いると

  

a≠0だから、右辺の分母、分子をaで割ると、

  

ここで、

  

とおくと、楕円の極座標表示の方程式(※)は

  

 

半直弦とは、θ=π/2のときのFP=rのこと。

このことは、θ=π/2のときcosθ=0になるので、(1)式より

  

となることより明らかだろう。

 

また、楕円(a≧b)の場合、

  

離心率ε

   

である。

a=bのときは円でε=1である。

 

(※) この場合

  

という対応関係にあることに注意!!

 

 

§2 双曲線

 

soukyokusen-graph-002.png双曲線の焦点をF(c,0)F'(−c,0)とし、右側の双曲線について考えることにする。

双曲線上の点をPとすると、双曲線の定義から

  

FPx軸のなす角度をθとし、△FF'Pについて余弦定理を用いると、

  

FP=rとすると、
  

  

ここで、aで右辺の分子分母を割ると、

  

ここで、

  

とおくと、

  

 

c>aだから双曲線の離心率ε>1である。

 

 

§3 放物線

 

houbutusen-graph-002.png放物線の焦点F(p,0)p>0)、準線をx=−p、さらに放物線上の点をPとし、準線x=−pPからおろした垂線の足をHとする。

放物線の定義からHP=FP

FP=r、線分FPx軸のなす角度をθとすると、

  

l=2pε=1とすれば、

  

の形になるので、放物線の離心率ε=1

 

ということで、2次曲線は

 0≦ε<1のとき楕円(ε=0のとき円)

  ε=1のとき放物線

  ε>1のとき双曲線

になるという話でした。

 


タグ:数学基礎

2次曲線 [ネコ騙し数学]

2次曲線

 

§1 楕円

2つの定点からの距離の和が一定である動点の軌跡を楕円という。この2つの定点を楕円の焦点という。

 

焦点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)とし、距離の和を2aa>c>0)とすると、

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

daen-graph-001.pnga²–c²=b²とおくと、楕円の方程式は

  

 

また、このことから、楕円

  

の焦点の座標は

  

 

AA'=2aを長軸の長さ、長径、BB'=2bを短軸の長さ、短径という。

 

例 楕円

  

a=5b=4とすると、

  

よって、焦点は(−3,0)(3,0)

 

a=b>0とすると、(1)は

  

これは原点Oを中心とする半径aの円になる。そして、このとき、焦点は円の中心Oになる。

 

 

§2 双曲線

 

2定点からの距離の差が一定である動点の軌跡を双曲線という。

この2定点を双曲線の焦点という。

 

2定点をF(c,0)F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)、距離の差を2a(c>a)とする。

  

両辺を2乗すると、

  

両辺を2乗すると、

  

soukyokusen-graph-001.pngc²–a²=b²とおくと、

  

 

双曲線

  

の焦点は

  

である。

 

双曲線の漸近線は、

  

 

 

§3 放物線

 

定点と定直線との距離が一定の動点の軌跡を放物線という。

このとき、定点を放物線の焦点、定直線を準線という。

 

y^2=4px-graph-001.png定点Fの座標を(p,0)、定直線(準線)をx=–p、動点Pの座標を(x,y)とし、Pから直線x=–pにおろした垂線の足をHとする。

  

両辺を2乗すると、

  

 


タグ:数学基礎

2次曲線の標準化の例 [ネコ騙し数学]

2次曲線の標準化の例

 

2次曲線の方程式の一般形は

  

×3の対称行列を用いると、

  

となる。

なのだが、座標軸の回転に関係する部分は、(1)の2次の項(の係数)だけなので、それに対応する対称行列

  

について、まず考える。

 

 

問題1 次の2次曲線を標準形にせよ。

  

【解】

  

とすると、固有方程式は

  

5x^2-6xy+ 5y^2-14x+2y - 3=0.pngt=2のとき、

  

t=8のとき

  

だから、大きさが1の固有ベクトルは、

  

これは、基本ベクトル

  

を反時計回りにθ=45°=π/4(rad)回転させたものだから、

  2ji-h-siki-001.png

これをに代入すると、

  

ここで、さらに

  

と座標変換すると、

  

よって、この曲線は楕円である。

(解答終)

 

これは図形や点を原点まわりに45°回転させるのではなく、x軸、y軸を45°回転し、それを新しいx'軸、y'軸とする主軸変換、座標変換!!

そのため、

  2ji-h-siki-002.png

となっている。

①式は

  2ji-h-siki-003.png

と書き換えられるので、高校で習う1次変換とは違うことに注意!!

 

これ以上余計なことを書くと混乱させるだけだから、これ以上は書くまい。

 

 

問題2 次の2次曲線を標準化せよ。

  

x^2-2xy+y^2+2x-6y=0.png【解】
とおくと、

  

よって、行列Aの固有値はt=0,2

t=2のとき

  

t=0のとき

  

したがって、行列Aの大きさ1の固有ベクトルは、

  

これは基本ベクトル

  

を45°時計回りに回展させたものだから、

  

とし、x²–2xy+y²+2x–6 y=0に代入すると、

  

さらに、

  

と変換すると、

  2ji-h-siki-004.png

となり、この曲線は放物線である。

(解答終)

 


タグ:数学基礎

2次形式の標準化 [ネコ騙し数学]

2次形式の標準化

 

2次形式

変数xyと実係数abhで定められる関係式

  2ji-siki-001.png

2次形式という。

これは行列を使うと

  2ji-siki-002.png

で表される。

列ベクトルを転置した行ベクトル、さらに対称行列2ji-siki-003.pngとすると、

  2ji-000.png

 

  2ji-siki-004.png

 

ところで、対称行列は適当な直交行列P)を用いて

  2ji-siki-005.png

と対角化することができる。

そこで、

  

とすると、

  

と、2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²を2次形式の標準形

  

にすることができる。

ここで、αβは行列Aの固有値である。


 

問題1 次の2次系式を標準化せよ。

【解】

(1) 2ji-siki-007.pngの固有方程式は

  

よって、行列Aの固有値はt=2、8。

t=2のとき

  

t=8のとき

  

したがって、t=28のときの固有ベクトルは、

  

したがって、この固有ベクトルの単位ベクトルは

  

よって、

  2ji-siki-008.png

で、

  2ji-siki-009.png

したがって、とすると、

  

 

(2) 2ji-siki-010.pngの固有方程式は

  

t=3に対する単位固有ベクトルは

  

t=−2に対する単位固有ベクトルは

  

したがって、直交行列P

  2ji-siki-011.png

となり、

  

したがって、とおくと、

  

(解答終)

 

x軸とy軸をθだけ回転した新しい座標軸をuvとする。

このとき、xy座標系での点Pの成分(x,y)と、新しいuv座標系での点Pの成分(u,v)との間には

  2ji-siki012.png

という関係がある。

行列を用いて表すと、

  2ji-siki-013.png

ここで、

  iyada-siki-000.png

とおくと、行列Pの行と列の成分を入れ替えた行列(転置行列)

  2ji-siki-014.png

となり、

  2ji-siki-015.png

したがって、iyada-siki-000.pngは直交行列。

 

⑨を2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²に代入すると、

    

uvの項の係数を0にするには、θ

  

にとればよく、このようなθをとれば2次形式の標準形になる。

 

 

問題2 2次曲線2x²–2xy+2y²=9 を標準形にせよ。

【答】

  2ji-siki-019.png

だから、の対角化を図る。

行列Aの固有方程式は

  

t=1のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-020.png

t=3のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-021.png

固有ベクトルの正規化――大きさ1の単位ベクトルにすること――をすると、

  2ji-siki-022.png

したがって、

  2ji-siki-019.png

このようにPを選ぶと

  2ji-siki-23.png

なるケロ(実際に計算して、こうなることを確かめよ)。

だから、2ji-siki-025.pngとして、2x²–2xy+2y²=9を標準化すると、u²+3v²=9になる。

(解答終)


タグ:数学基礎

行列の固有値と固有ベクトル [ネコ騙し数学]

行列の固有値と固有ベクトル

 

1次変換(行列)に対して

  

を満たすλA固有値固有ベクトルという。

単位行列とすると、(1)式は

  

と変形できるので、が存在するための必要十分条件は、行列A–λ Eが逆行列を持たないこと、すなわち、

  

で、(2)式をA固有方程式という。

2次方程式(2)の解をαβとすると、解と係数の関係より、

  

が成り立つ。

 

ここで、

  

のことで、これは行列の行列式である。

 

問題1 次の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。

【解】

固有ベクトルを、固有値をkとする。

(1)

  ko-siki-001.png

x=y=0以外の解をもつためには、

  ko-siki-002.png

k=1のとき、①式より

  ko-siki-003.png

ここで、x=tとおくと、y=−t

よって、固有ベクトルは

  

 

k=2のとき①より

  ko-siki-004.png

y=sとおくと、x=−2s

よって、固有ベクトルは

  

 

(2)

  ko-siki-005.png

②式より

  

よって、固有ベクトルは

  

である。

(解答終)

 

 

問題2 次の問に答えよ。

(1) 行列の固有値と固有ベクトルを求めなさい。

(2) となる行列Pを求めよ。

(3) nが自然数のときを求めよ。

【解】

(1) Aの固有値をk、固有ベクトルをとすると、

  ko-siki-006.png

以外の解をもつためには、

  ko-siki-007.png

k=2のとき、①式より

  ko-siki-008.png

k=5のとき、①式より

  ko-siki-009.png

 

(2)

  ko-siki-010.png

ここで、とおくと、

  

したがって、αβは行列Aの固有値で、はその固有ベクトル。

よって、α=2β=5とすると、

  

 

(3) a=1,b=1とおく。

α=2のとき

  ko-siki-011.png

β=5のとき

  ko-siki-012.png

よって、

  ko-siki-013.png

後の計算はヨロシク!!

(解答終)

 

  

が成立するので、これを利用して

  

と計算してもよい。

 


タグ:数学基礎

2次曲線プチ [ネコ騙し数学]

2次曲線プチ

 

問題1 次の曲線を原点の周りに45°回転してえられる曲線の方程式を求めよ。

【解】

(x,y)を原点まわりに角度θ回転して得られる点を(x',y')とすると、次の関係が成立する。

  

逆に、(x',y')を原点まわりに角度−θ回転すれば(x,y)に戻るので、次の関係が成立する。

  

したがって、θ=45°のとき、

  

になる。

 

(1) x²–y²=a²を代入すると、

  


kaiten-graph-001.png

(2) x²+xy+y²=6を代入すると、

  

だから、

  


kaiten-graph-002.png

(3) x²–2xy+y²–2x–2y+1=0を代入すると、

  

よって、

  


kaiten-graph-003.png

(解答終)

 

図形を回転させても図形の形は変わらないので、(1)のx²–y²=a²a>0)は直角双曲線であり、(2)のx²+xy+y²=6は楕円。そして、(3)の曲線x²–2xy+y²–2x–2y+1=0は放物線である。

 

実は、2次曲線

  

には、曲線の種類を判別できる、判別式D=ac–b²という判別式があり、

  D>0のとき楕円

  D=0のとき放物線

  D<0のとき双曲線

になる。

 

こうなっていることを、問題の(1)、(2)、(3)の場合で確かめて欲しいにゃ。


問題2 曲線(x+y)²=4xx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

kaiten-graph-004.png【解】

(x+y)²=4xだから

  

y≧0の部分は、y=2√x–xだから、

  

(解答終)

 

問題2を解くのに2次曲線の知識は必要としないけれど、

  

となるので、a=b=c=1となり、2次曲線の判別式を使うと、

  

となり、この曲線が放物線であることが分かる。

このことは、この曲線を原点まわりに−45°回転すると、変換式は

  

となるので、これを(x+y)²=4x代入すると、

  

となることからも確かめられる。


タグ:数学基礎

第15回 2変数関数の極値の計算例 [ネコ騙し数学]

第15回 2変数関数の極値の計算例

 

偏微分を用いて2変数関数の極値を求める前に、極値に関する定理を再掲する。

 

定理15

関数f(x,y)が偏微分可能なとき、点(a,b)で極値を取るならば

  

である。

 

定理16 (極値の判別式)

f(x,y)は領域D級の関数とする。(a,b)f(x,y)の停留点とし

  

とおくとき、次のことが成り立つ。

(ⅰ) D>0のとき

  ならば、f(x,y)は点(a,b)で極小、

  ならば、f(x,y)は点(a,b)で極大となる。

(ⅱ) D<0のとき、f(x,y)は点(a,b)で極大でも極小でもない。

(ⅲ) D=0のとき、2階の偏微分係数だけからは判定できない。

 

なお、定理16に登場する停留点とは、である点を停留点のことである。

 

 

問題 次の関数の極値を求めよ。


 

【解】

(1) より、停留点は(0,0)である。

  だから

したがって、f(x,y)(0,0)で極小で、f(0,0)=(0,0)が極小値である。

 

(2)

  dai15-sik-002.png

①と②を加えると

  

y=−xを①に代入すると、

  

よって、停留点は(0,0)(√2,−√2)(−√2,√2)である。

  

(x,y)=(√2,−√2)(−√2,√2)のときだからとなるので極小、極小値は−8

(0,0)のとき、D=0となり、2階偏微分係数を用いた極値の判定は出来ない。

  

したがって、(0,0)は極値ではない。

 

(3) 

したがって、停留点は

  dai15-siki-003.png

②よりy=0x=1

y=0を①に代入すると、x²–2x=x(x–2 )=0より、x=02

x=1を①に代入すると、y²–1=(y+1)(y–1)=0よりy=±1。

よって、停留点は(0,0)(2,0)(1,1),(1,−1)

  

よって、(0,0)のとき、だからとなり、f(x,y)(0,0)で極大、極大値はf(0,0)=−1になる。

(2,0)のとき、だから、f(x,y)(2,0)で極小、極小値はf(2,0)=−5

(1,1)(1,−1)のとき、だから、極値ではない。

 

(4)

  

したがって、

  

②より

  

これを①に代入すると、

  

②にy=1を代入すると、x=1

したがって、停留点は(1,1)

  dai15-siki-004.png

よって、f(x,y)は点(1,1)で極小で、極小値はf(1,1)=3である。

(解答終)

 


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